Mecatronica

Simplificación de funciones lógicas

La parte final de la propuesta de diseño que usted debe presentar a la empresa Diseñar Ltda., debe contener una versión simplificada del circuito inicial.

Guía de Trabajo

1. Identifique las reglas que se pueden aplicar para reducir una expresión booleana.

2. partir de la función simplificada indique que leyes y teoremas aplicó.

3. A partir de la función simplificada realice el esquema y la tabla de verdad correspondiente, compare con la propuesta inicial.

EXPRESIONES BOOLEANAS

4.3.1 Definición. Una expresión booleana es una sucesión de símbolos que incluye 0,1, algunas variables y las operaciones booleanas.

Para ser más precisos definamos una expresión boolena en n variables x1, x2..., xn recursivamente como:

• Los símbolos 0 y 1 y x1, x2,..., xn son expresiones booleanas en x1, x2,... xn.

• Si E1 y E2 son expresiones booleanas en x1, x2,... xn también lo son E1  E2; E1 E2 y E1’.

Ejemplo 1.

Las siguientes son cuatro expresiones booleanas en las tres variables x, y, z:

• (x  y)(x  z).1. x  y.

• x’z  x’y  z’. z.

Es obvio que las expresiones del lado izquierdo involucran las tres variables, las del lado derecho dos y una variable respectivamente. Las expresiones booleanas 0 y 1 pueden verse como expresiones en cualquier número de variables.

El número de variables de una expresión booleana es el número de letras distintas que aparezcan en la expresión, sin tener en cuenta si están o no complementadas.

4.3.2 Forma normal disyuntiva. Una expresión booleana está en forma normal disyuntiva en n variables x1, x2,... xn, si la expresión es una suma de términos del tipo E1 (x1) x E2( x2) x ... x En(xn), donde Ei(xi) = xi o xi’ para i = 1, 2,..., n, y ningún par de términos son idénticos. Además se dice que 0 y 1 están en F.N.D en una variable para todo n  0.

4.3.2.1 Teorema. Toda expresión booleana que no contiene constantes es igual a una función en forma normal disyuntiva.

La manera de realizar esa transformación la ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Escribir (xy’  xz)’  x' en F.N.D

Solución:

( xy’  xz)’  x' = (xy’)’(xz)’  x'

= (x’  y)(x’  z’)  x’

= (x’  y)x’  (x’  y)z’  x’

= x’  x’y  x’z’  yz’  x’

= x’  yz’

= x’(y  y’)(z  z’)  yz’(x  x’)

= x’ y z  x’ y z’  x’ y’ z  x’ y’ z’  x y z’

Cualquier expresión booleana puede colocarse en forma normal disyuntiva en más de una forma. Basta cambiar el número de variables.

Ejemplo 3.

f = x y es una expresión booleana en dos variables en F.N.D. Si la multiplicamos por z  z’ (que es 1), obtenemos f = x y z  x y z’ la

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