Medidas de dispersión

Medidas de dispersión

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Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).

Índice

1 Rango estadístico

1.1 Requisitos del rango

1.1.1 Ejemplo

2 Medio rango

2.1 Ejemplo

3 Varianza

3.1 Propiedades

4 Desviación típica

4.1 Desviación típica muestral

4.2 Desviación típica poblacional

5 Covarianza

6 Coeficiente de Correlación de Pearson

6.1 Propiedades

6.1.1 Ejemplo

7 Véase también

Rango estadístico

El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.

Requisitos del rango

Ordenamos los números según su tamaño.

Restamos el valor mínimo del valor máximo

Ejemplo

Para una muestra (8,7,6,9,4,5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9 (Valor unitario inmediatamente posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus valores se encuentran en un rango de:

Rango = 5

Medio rango

El medio rango de un conjunto de valores numéricos es la media del menor y mayor valor, o la mitad del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

medioRango = \frac{\ (Min + Max)}{2}

Ejemplo

Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

medioRango = \frac{\ (3 + 8)}{2} = 5.5

Representación del medio rango: Medio rango.jpg

Varianza

Artículo principal: Varianza.

La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones: S_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1}

S_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

Propiedades

La varianza es siempre positiva o 0: V_{X}^2 \geq 0

Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica.

Y_i = X_i + k c S_Y^2 = \frac{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}{n} = \frac{\sum [(X_i + k) - (\bar{X} + k)]^2}{n} = \frac{\sum (X_i + k - \bar{X} - k)^2}{n} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n} = S_X^2

Si a los dato de la distribución les multiplicamos una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.

Y_i = X_i \cdot k

S_Y^2 = \frac{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}{n} = \frac{\sum (X_i \cdot k - \bar{X} \cdot k)^2}{n} = \frac{\sum [k \cdot (X_i - \bar{X})]^2}{n} = \frac{\sum [k^2 \cdot (X_i - \bar{X})^2]}{n} = k^2 \cdot \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n} = k^2 \cdot S_X^2

Propiedad distributiva: V(X + Y) = V(X) + V(Y) - cov (X,Y)

FORBES

Desviación típica

La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión

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