Paralelogramos

Paralelogramos

Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales

Sea ABCD un paralelogramo cuyas diagonales AC Y BD se cortan por el punto O

Demostrar que

AO=OC y que BO=OD

Demostración:

Si demostramos que el triangulo AOB es igual a COD, o que el BOC lo es al AOD,habremos demostrado el teorema , puesto que los lanos homologos de triángulos iguales son iguales.

En los triángulos AOB Y COD

AB=CD,

(los lados opuestos de un romboide son iguales)

< BAO = <DCO, <OBA=<ODC.

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los angulos alternos –internos son iguales

Por consiguiente,

El triangulo AOB= Al triagulo COD

Dos triagulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los angulos adyacentes a ese lado.

132.si dos lados adyacentes de un paralelogramo y el angulo comprendido son respectivamente iguales a los del otro , los dos paralelogramos son iguales

Sean ABCD, A’ B’ C’ D’ dos paralelogramos en que AB = A’B’ , AD=A’D’, y ɸ A = ɸA’

Demostracion de que los 2 paralelogramos son iguales

Colóquese el Paralelogramo ABCD sobre el A’B’C’D’ de tal suerte que AB coincida con su igual A’B’

El lado AD tomara la dirección A’B’

(Siguese esto de que se supone que ɸ A= ɸA’)

D caera en D’

Ahora bien , DC y D’C’ son paralelas a A’B’ que pasan por el punto D’

DC tomara la dirección de D’C’.

También , BC , B’C’ son paralelas a A’D’ que pasan por B’

BC tomara la dirección de B’C’

C caera sobre C’

Los dos paralelogramos coinciden y son por tanto iguales

133. Corolario

si dos rectángulos tienen las bases y las alturas respectivamente iguales , los dos rectángulos son iguales.

134. si los segmentos determinados en una transversal, por tres o mas paralelas son iguales, también son iguales los determinados en cualquiera otra trasversal por las mismas paralelas

Sean AB, CD , EF ,GH cuatro paralelas que determinan en la transversal BH los segmentos iguales BD, DF FH , y los segmentos AC, CE, EG en otra transversal AG

Demostrar que AC=CD=EG

Demostración: tracense AP, CQ,ER paralelas a BH

Los angulos APC,CQE,ERG son respectivamente iguales a BDC,DFE,FHG.

Ahora, los angulos BDC,DFE,FHG son iguales; los angulos APC, CQE, ERG son iguales.

AP,CQ,ER son paralelos

Los angulos CAP, ECQ,GER son iguales.

También, AP=BD,CQ=DF, ER=FH

Ademas, BD=DF=FH; AP=CQ=ER

Los triángulos CPA,EQC, GRE son iguales.

AC=CE=EG

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