Si suponemos que la solución de la ecuación dada existe y tiene la forma
Enviado por erickrenteria • 16 de Mayo de 2016 • Trabajo • 265 Palabras (2 Páginas) • 119 Visitas
5. Resolver por series la ecuación diferencial
[pic 1]
Desarrollo
Si suponemos que la solución de la ecuación dada existe y tiene la forma
[pic 2]
Entonces derivamos para poder hallar :[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
Ahora reemplazamos en (1), las series (2) y (3), obteniendo asi:
[pic 6]
[pic 7]
Si escribimos los primeros términos de estas series:
[pic 8]
[pic 9]
Y sumamos los coeficientes de potencias iguales de x, se obtiene:
[pic 10]
Por lo tanto, para que (5) sea idéntica a 0 es necesario que los coeficientes de las potencias iguales de x sean cero; esto es, que:
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Por tanto, la serie de potencias adopta la forma:
[pic 17]
Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula de término general del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos a la expresión (4) y la escribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia de x, esto es:
[pic 18]
Sea para la primera serie, luego esta queda enterminos de k, asi:[pic 19]
[pic 20]
Sea para la segunda serie, luego esta queda enterminos de k, asi:[pic 21]
[pic 22]
La ecuacion (4) en treminos de k, sería:
[pic 23]
Evaluamos el primer termino de (6) en 0 y 1:
[pic 24]
[pic 25]
Reagrupamos las series indicadas ya que inician en k = 2:
[pic 26]
Ahora igualamos a cero cada termino de (7):
[pic 27]
Como :[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
Haciendo uso de la ecuacion de recurrencia (8), Calculamos los demas terminos, reemplazando k iniciando en 2:
Para k = 2:
[pic 31]
Para k = 3:
[pic 32]
Para k = 4:
[pic 33]
Para k = 5:
[pic 34]
Para k = 6:
[pic 35]
Para k = 7:
[pic 36]
y así sucesivamente; por lo tanto, a partir de la hipótesis original, ecuación (2), llegamos a:
[pic 37]
Reemplazando los valores hallados para Cn:
[pic 38]
...