Soluciones ejercicios programacion lineal

SOLUCIONES

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL

Ejercicio nº 1.-

a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:

b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior.

Solución:

Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es.

Ejercicio nº 2.-

Maximiza la función z = x  y, sujeta a las siguientes restricciones:

Solución:

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que

x  0 e y  0.

• Representamos la dirección de las rectas z = x  y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x  y = 0

el máximo, que vale: z = 8  4 = 12

Ejercicio nº 3.-

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Solución:

Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II.

Resumamos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el coste es z = 10x  30y = 10(x  3y).

Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x  3y) = 0 

x  3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x  3y).

Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II.

El precio en este caso será de z = 10(2,5  32,5) = 100 euros.

Ejercicio nº 4.-

Disponemos de 210 000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130 000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B.

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?

Solución:

Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B.

Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el rendimiento total es:

Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000)

El máximo se alcanza en el punto (13, 8).

Por tanto, debemos invertir 130 000 euros en acciones del tipo A y 80 000 euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de

Ejercicio nº 5.-

a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:

b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.

Solución:

Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).

Ejercicio nº 6.-

Halla el mínimo de la función z = 3x  2y con las siguientes restricciones:

Solución:

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que

x  0 e y  0.

Los vértices de dicha región son los puntos:

• Representamos la dirección de las rectas z = 3x  2y, dibujando lo que pase por el origen de coordenadas: 3x  2y = 0

• Observamos que la recta 3x  2y = 0 y la recta 3x  2y = 2 son paralelas. Por tanto,

Este mínimo vale:

z = 3 0  2 1 = 2

Ejercicio nº 7.-

Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura.

El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.

La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros.

Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

Solución:

Llamamos x a la producción diaria de artículos A e y a la de artículos B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el beneficio es z = 20x  40y = 20(x  2y). Debemos obtener el máximo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 20(x  2y) = 0 

x  2y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 20x  40y.

es decir, en (3, 2).

...