Solución analítica o matemática

Para resolver muchos problemas sobre fuerzas, tanto gráfica como analíticamente, hay que saber descomponer una fuerza en otras dos orientadas según los ejes de coordenadas (x e y), cuyos efectos sumados sean iguales a la fuerza que estamos descomponiendo.

En los sistemas de fuerzas estudiados anteriormente conocíamos las componentes (F1 y F2) y calculábamos la resultante (R).

En la descomposición de fuerzas, conocemos la resultante (R) y nos interesa conocer sus componentes (F1 y F2 sobre las coordenadas x e y) .

La descomposición de una fuerza en sus componentes se puede hacer sobre cualquier dirección. Sin embargo, lo más frecuente es descomponer una fuerza en direcciones perpendiculares (horizontal y vertical, ejes coordenados).

Para ello, la fuerza dada se coloca en el origen de unos ejes coordenados y desde el extremo (flecha) de la fuerza se trazan líneas perpendiculares a los ejes, como se indica en la figura a la derecha.

Las distancias desde el origen hasta esas perpendiculares nos dan la medida de las componentes horizontal y vertical de la fuerza dada.

Entonces: Las proyecciones sobre los ejes son sus componentes.

Hasta aquí tenemos la solución o representación gráfica de fuerzas.

x

Solución analítica o matemática

En seguida abordaremos la solución o cálculo del valor (módulo) de una fuerza y sus componentes (solución analítica o matemática).

Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es proyectar sobre los ejes la fuerza dada (figura a la izquierda) y calcular, por medio de relaciones trigonométricas simples, tales como seno, coseno y tangente, el valor de sus componentes y el valor del ángulo de aplicación.

Una vez que tenemos cada componente proyectada y hechos los cálculos, hacemos las sumas y restas sobre cada eje para luego volver a componer todo en una nueva resultante.

Para hallar la resultante total nueva hay que realizar el procedimiento inverso; es decir, componer las dos fuerzas.

El módulo de la nueva resultante se calcula como la raíz cuadrada de la suma de cada componente al cuadrado:

Fuerzas_Descomponer001

El ángulo se puede calcular con la tangente:

Fuerzas_Descomponer002

Veamos:

x

Aplicando la definición de seno al ángulo (α en nuestro dibujo ilustrativo a la derecha) que forman el vector con el eje x (en un triángulo rectángulo el seno es el cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa), y de coseno que es el cateto adyacente dividido por la hipotenusa, podemos calcular las componentes (el valor que toma la fuerza en su proyección hacia los ejes x e y):

Fx = F• cos α

se lee: la componente Fx de la fuerza original (F) es igual al producto entre esta fuerza y el coseno del ángulo (α) que forma con su propia proyección en x.

Fy = F• sen α

se lee: la componente Fy de la fuerza original (F) es igual al producto entre esta fuerza y el seno del ángulo (α) que forma con su propia proyección en y.

Las componentes Fx (proyección color amarillo) y Fy (proyección color verde) son las proyecciones de F sobre los ejes de coordenadas y son también vectores.

Entonces, cuando conocemos las componentes de F sobre los ejes, no sólo conocemos la orientación (el ángulo con el eje x define su dirección), sino que podemos hallar su módulo usando las relaciones trigonométricas descritas.

Veamos un ejemplo:

x

Tenemos tres fuerzas en distintas direcciones, como se indica en el gráfico:

F1 sobre el eje X,

F2 a 30° del eje X y

F3 sobre el eje Y.

Donde:

F1 = 40 N

F2 = 70 N

F3 = 30 N

α = 30º

Lo que debemos hacer primero es descomponer las fuerzas para luego calcular la sumatoria de las fuerzas en X y luego la sumatoria en Y.

Para las fuerzas

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