TEOREMA DE CHÉBYSHEV

Lección 20: TEOREMA DE CHÉBYSHEV

Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la

distribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty Lvovich

Chébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de

la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k

desviaciones estándar alrededor de la media.

Para cualquier variable aleatoria X con media  y desviación estándar , la

probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la

media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos

2

1

1

k

− .

Simbólicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras:

( ) ( ) 2 2

1 1

1

k

ó P X k

k

P X − μ £ ks ³ − − μ > s £

La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los

límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener

72

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD

que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la

probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k

desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1.

Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es

su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con

cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua.

...