EL TEOREMA DE CHEBYSHEV y La regla empirica

EL TEOREMA DE CHEBYSHEV

Fue formulado por el matemático ruso P.L Chebyshev (1821 – 1894). Este teorema establece que todo conjunto de datos; por lo menos 1 – 1/k 2% de las observaciones están dentro de K desviaciones estándar de la media, en donde k es cualquier número mayor que 1. Se expresa como:[pic 1]

TEOREMA DE CHEBYSHEV                       [pic 2]

Así, por ejemplo, si se forma un intervalo de k= tres desviaciones estándar por encima de la media hasta tres desviaciones estándar por debajo de la media, entonces por lo menos

= 88.89%[pic 3]

de todas las observaciones estarán dentro de dicho intervalo.

Sin embargo, si el conjunto de datos tiene una forma que se aproxima a la de campana, la regla empírica reflejará con mayor precisi6n la mayor concentración de datos cerca de la media.

EJERCICIOS DEL TEOREMA DE CHEBYSHEV:

Ejercicio 1. Teorema de Chebyshev aplicado a Pigs & People Airlines.

P&P Airlines, reveló una media de 78.7 pasajeros por día en 50 días, con una desviación estándar de 12.14. Para programar los tiempos para una nueva ruta que abrió P&P, la gerencia desea saber con qué frecuencia los pasajeros están dentro de k = dos desviaciones estándar de la media, y cuál es dicho intervalo.

Desarrollo:

Si se transportan dos desviaciones estándar (2 x 12.14)= 24.28 pasajeros por encima y por debajo de la media de 78.7, se tendrá un intervalo de:

Por debajo: (78.7 -24.28) =54.42 a

Por encima: (78.7 + 24.28) = 102.98 pasajeros.

Análisis: El número de pasajeros diarios estuvo ente 54 y 103.

= 75%[pic 4]

El 75% de los días, es decir (75% x 50)= 37 días. El número de pasajeros estuvo entre 54 y 103. Entonces la gerencia sabrá sobre cuántos pasajeros preparará las operaciones de vuelo.

Ejercicio 2. La media de la cantidad de llenado de una poblaci6n integrada por 12 latas de gaseosa es de 12.06 onzas y una desviaci6n estándar de 0.02. Sin embargo, no se conoce la forma de 1a pob1aci6n y no es posible suponer que tiene forma de campana. Describa la distribuci6n de la cantidad de llenado de las latas.  ¿Existe una gran probabilidad de que una lata tenga menos de 12 onzas de gaseosa?

Desarrollo:

 12.06  0.02 = (12.04; 12.08)[pic 5][pic 6]

 12.06 2(0.02) = (12.02; 12.10)[pic 7][pic 8]

 12.06  3(0.02) = (12.00; 12.12)[pic 9][pic 10]

Como la distribuci6n posiblemente sea asimétrica, no es pertinente utilizar la regia empírica. Usando el teorema  de Chebyshev no se puede decir algo sobre el porcentaje de latas que tienen entre 12.04 y 12.08 onzas. Es posible determinar que al menos el 75% de las latas tendrían entre 12.02 y 12.10 onzas, y que por lo menos el 88.89% tendrían entre 12.00 y 12.12 onzas. Por lo tanto, entre 0 y 11.11% de las latas tienen menos de 12 onzas.

Ejercicio 3. Aquí se muestran las relaciones precio-ganancia para 30 acciones diferentes transadas en la Bolsa de Valores de Nueva York. Se demostró una media de 7.33667 acciones, con una desviación estándar de 1.52041 y se desea saber con qué frecuencia los acciones están dentro de k = tres desviaciones estándar de la media, y cuál es dicho intervalo.

Desarrollo:

3 x (1.52041) = 4.56123

Por debajo: (7.33667 – 4.56123) = 2.43877

Por encima: (7.33667+ 4.56123) = 11.89790 acciones.

= 88.89%[pic 11]

El 75% de las acciones, es decir (88.89% x 30)= 26 acciones. Estuvieron entre las 2 y 11 relaciones precio- ganancia.

LA REGLA EMPÍRICA

En los conjuntos de datos simétricos, donde la mediana y la media son iguales, con frecuencia los valores tienden a agruparse alrededor de la media y la mediana, generando una distribución con forma de campana.

En las distribuciones de esta clase, se utiliza la regla empírica que permite examinar la variabilidad:

• Aproximadamente el 68% ó 68.3% de los valores se encuentran a una distancia de ±1 desviación estándar de la media.

• Aproximadamente el 95% ó 95.5% de los valores se encuentran a una distancia de ±2 desviaciones estándar de la media.

• Aproximadamente el 99.7% se encuentran a una distancia de ±3 desviaciones estándar de la media.

La regia empírica ayuda a medir como se distribuyen los valores por encima y debajo de la media. Esto permite identificar los valores atípicos cuando se analiza un conjunto de datos numéricos.

La regia empírica implica que, en las distribuciones con forma de campana, aproximadamente solo uno de cada 20 valores estará alejado de la media más allá de dos desviaciones estándar en cualquier dirección. Por regla general, los valores que no se encuentran en el intervalo ll ± 2cr se consideran como posibles atípicos. Por lo tanto cuando k tenga más de 3 desviaciones estándar se aplicará el teorema de Chebyshev.

EJERCICIOS DE LA REGLA EMPÍRICA:

Ejercicio 1. La cantidad media de llenado de una población integrada por 12 latas de gaseosa es de 12.06 onzas, con una desviación estándar de 0.02. También se sabe que esta población tiene forma de campana.

Describa la distribución de la cantidad de llenado de las latas. ¿Existe una gran probabilidad de que una lata tenga menos de 12 onzas de gaseosa?

Media de la Población  Desviación Estándar de la Población [pic 12]

 12.06 0.02 = (12.04; 12.08)[pic 13][pic 14]

 12.06 2(0.02) = (12.02; 12.10)[pic 15][pic 16]

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