Taller Numerico

8. Halle el polinomio de Taylor de grado n= 4 de la función f(x)=∫_(π/2)^x▒〖cost dt〗 respecto a x_0=0. Use P_4 (x) para aproximar f (0.1).

Solución

Primero que todo, resolvemos la integral para encontrar la función en la cual es:

f(x)=∫_(π/2)^x▒〖cos⁡(t)dt〗→f(x)=[sen(t)]_(π/2)^x→f(x)=sen(x)-sen(π/2)

f(x)=sen(x)-1

Ahora de la función obtenida, la derivamos cuatro veces de la siguiente manera:

f(x)=sen(x)-1

f^' (x)=cos⁡(x)

〖f''〗^ (t)=-sen(x)

f^'''(x)=-cos⁡(x)

f^'''' (x)=sen(x)

Por lo tanto, para hallar P_4 (x) directamente es lo siguiente:

P_4 (x)=f^((0) ) (x_o )+f^((1) ) (x_o )(x-x_o )+(f^((2) ) (x_o ))/2 (x-x_o )^2+(f^((3) ) (x_o ))/6 (x-x_o )^3

+(f^((4) ) (x_o ))/24 (x-x_o )^4

P_4 (x)=[sen(0)-1]+[cos(0)(x)]+[(-sen(0))/2 〖(x〗^2)]+[(-cos(0))/6 〖(x〗^3)]

+[(sen(0))/24 〖(x〗^4)]

P_4 (x)=-1+x-1/6 x^3

R_5 (x)=(f^((4+1)) (ξ))/((4+1)!) 〖(x-x_0)〗^(4+1)=(f^((5)) (ξ))/((120) 〖(x)〗^5

R_5 (x)=(cos(ξ) x^5)/120

Como sabemos que la función original es f(x)=sen(x)-1, podemos sencillamente evaluarla a 0.1, quedando de la siguiente manera, tal que f(0.1) 〖≈P〗_4 (0.1):

f(0.1) 〖≈P〗_4 (0.1)→f(0.1)≈-1+(0.1)-1/6 (0.1)^3

f(0.1)=-0.90016666

Sea P_3 el polinomio que interpole la siguiente tabla:

x 0 1/2 1 2

f(x) 0 y 3 2

Determine el valor de y si se sabe que el coeficiente de x^3 en el polinomio P_3 es 6

Sea P_3 (x)=6x^3+bx^2+cx+d

Debemos hallar las constantes b,c,d y Como P_3 interpola la tabla

P_3 (0)=0 ,P_3 (1/2)=y,P_3 (1)=3,P_3 (2)=2

P_3 (0)=0 0=6(0)^3+b(0)^2+c(0)+d

0=d

P_3 (1)=3 3=6(1)^3+b(1)^2+c(1)+d pero d=0

3=6(1)^3+b(1)^2+c(1)

3=6+b+c

-3=b+c (1)

P_3 (2)=2 2=6(2)^3+b(2)^2+c(2)+d pero d=0

2=48+4b+2c

-46=4b+2c

-23=2b+c (2)

De ( 1) -3-b=c

Reemplazamos c en (2)

-23=2b+c

-23=2b-3-b

-23+3=b

-20=b

Luego en (1) reemplazamos b

-3-b=c

-3-(-20)=c

3+20=c

17=c

luego

P_3 (x)=6x^3+bx^2+cx+d

P_3 (x)=6x^3-20x^2+17x

Ahora hallamos y=P_3 (1/2)

y=6(1/2)^3-20(1/2)^2+17(1/2)

y=6(1/8)-20(1/4)+17/2

y=6/8-20/4+17/2

y=17/4

Luego la tabla queda

x 0 1/2 1 2

f(x) 0 17/4 3 2

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