Vector De Poynting

Vector de Poynting:

El vector de Poynting es un vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética y cuya dirección y sentido son los de propagación de la onda electromagnética. De una manera más general el vector de Poynting puede definirse como el producto vectorial del campo eléctrico y la intensidad del campo magnético. Recibe su nombre del físico inglés John Henry Poynting y se expresa mediante:

O también se define

Y en forma compleja

Representa el campo eléctrico

Intensidad del campo magnético

El flujo de campo magnético, siendo μ la permeabilidad magnética del medio.

Para deducir esta ecuación utilizaremos el principio de conservación de energía que se define por una ecuación de conservación

Donde “j” es el flujo que sale de una superficie de volumen y la parte derecha de la ecuación es el cambio en la densidad dentro del volumen.

La ecuación de conservación de energía se encuentra limitada por restricciones impuestas por la teoría de la relatividad ya que al definir eventos simultáneos estos únicamente pueden ser medidos al ser cercanos entre ellos, por lo que nos reduce esta conservación de la energía a "localidades".

Por otra parte tenemos un vector el cual representa un flujo de energía a través de una superficie aunque en el lugar no exista una densidad de energía.

De esta forma podemos extrapolar el principio de conservación de la energía a el electromagnetismo donde definimos u como la densidad de energía y S el vector de flujo de la energía.

Pero esta ecuación por si sola no representa por completo a la conservación local de la energía, ya que el campo que sale del volumen no se conserva debido a que debemos de tomar en cuenta la transformación de materia en energía y viceversa, debido a esto debemos de incluir un termino extra para incluir el trabajo dentro del volumen.

En este punto se realizan dos suposiciones, una es que el medio macroscópico es lineal para las propiedades magnéticas y electicas, por lo que no hay dispersión ni perdida, y la segunda es que la suma de los campos representa la densidad total de energía electromagnética, aun para campos que varían en el tiempo.

Ahora utilizaremos las ecuaciones de Maxwell

Podemos obtener las igualdades para los términos de esta ecuación al despejar de la ecuación y con el producto donde

Donde la parte izquierda de la expresión podemos expresarla en la siguiente forma

El termino de la izquierda hay que tener cuidado al trabajarlo debido a que la divergencia actúa sobre los dos campos y no es posible realizar únicamente el algebra para reacomodar los vectores.

Definiremos la divergencia entonces de forma que se aplique sobre ambos campos

Donde el gradiente se divide en cada uno de los campos sobre el que se aplica, esto es de la misma forma que se utilizaría una derivada de un producto y podemos entonces aplicar el algebra vectorial a estos productos.

Por lo que obtendremos un término

Y así la expresión

Puede reescribirse en la notación normal

Ahora tendremos nuestra ecuación de la energía

Ahora utilizaremos o través a las ecuaciones de maxwell para sustituir el rotacional de E

Tendremos los demás términos.

De donde al comparar

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