Area Bajo La Grafica De Una Funcion

3.1.1 Área bajo la grafica de la función

Definición de integral definida. Área bajo la grafica de una función

Sea una función continua en el intervalo , tal que toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el área comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre y de y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud . Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

donde .

Para contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo y cuya altura es de longitud .

Haciendo esto para , terminamos con rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a .

Así, cuando :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo :

Llamemos a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

Es decir, tiende a cuando el número de rectangulos, , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NO negativos en el intervalo . ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso seria aplicable al caso , pero ahora:

y el area sobre la grafica de la función es

siendo la integral definida NO positiva porque .

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