Area Entre Dos Curvas

Área entre dos curvas

Teorema

Si f y g son funciones continuas en [a, b]y se verifica que g(x) ≤f (x) ¥x € [a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g , y las rectas verticales x = a y x = b , es :el área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Observaciones:

a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x) ≤ f (x) .

b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x .

c) Suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) ≤ f (x) y otras veces que f (x) ≤ g(x), entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a, b], viene dado por la

Ejemplos

1.- Calcular el área limitada por la curva -5x+6 y la recta

Solución:

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

-5x+6 (1)

(2)

Sustituyendo (2) en (1) nos queda que:

x=

-5x-2x+6=0

-7x+6=0

1 6

x y=2x y=x^2-5x+6

0 0 6

1 2 2

2 4 0

3 6 0

4 8 2

5 10 6

6 12 12

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola

+ -

2.Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

Solución

Hallemos los puntos de intersección entre las curvas dadas, formaremos un sitema de ecucaciones, así:

(1)

(2)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene que:

(3)

x y=2x y=2*(x)^1/2

0 0 0

1 2 2

2 4 2,82842712

3 6 3,46410162

4 8 4

5 10 4,47213595

6 12 4,89897949

De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta

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