Cálculo - Resumen
Enviado por 1082004 • 14 de Noviembre de 2017 • Resumen • 1.456 Palabras (6 Páginas) • 227 Visitas
- Límites
El concepto de límite se utiliza para definir los temas centrales de cálculo infinitesimal como son: continuidad, diferenciación e integración.
El límite L de una función existe, si el valor f(x) al cual se aproxima, cuando X se acerca a C por la izquierda y por la derecha, es el mismo. La notación para el límite de una función se escribe:
[pic 1]
El valor al que se aproxima f(x) cuando x se acerca a c, es igual a L, si f(x) se acerca cada vez más L cuando x se acerca a c, pero no es igual a c.
EJEMPLO:
Encuentra [pic 2]
Solución:
Para evaluar la función se encuentra el dominio, que en este caso es x , por lo que se sustituye x = 2 para encontrar el valor de la función.[pic 3]
[pic 4] | = [pic 5] | [pic 6] |
- Límites de formas indeterminadas (0/0)
Si al realizar una sustitución indirecta en una función, obtenemos una forma indeterminada 0/0, buscaremos una función equivalente que coincida en todos sus puntos con la función original, excepto en el punto indeterminado, por ello debemos eliminar la indeterminación.
EJEMPLO:
Encuentra [pic 7]
Solución:
[pic 8] | = [pic 9] | |
= [pic 10] | = [pic 11] | |
[pic 12] | [pic 13] |
- Límites unilaterales (a partir de una gráfica)
Si queremos expresar específicamente el lado por el cual nos estamos aproximando a c, utilizamos la siguiente anotación:
- Para expresar, “el límite de f(x) cuando x se acerca a c por la izquierda”, escribimos
[pic 14]
Para expresar, “el límite de f(x) cuando x se acerca a c por la derecha”, escribimos [pic 15][pic 16]
A estos se les llama límites unilaterales. Ya vimos que para que el límite exista, es necesario que los límites unilaterales se aproximen al mismo valor; esto se expresa en el siguiente teorema.
si y sólo si y [pic 17][pic 18][pic 19] |
EJEMPLO:[pic 20]
Dada la siguiente gráfica de una función, determina:
- [pic 21]
- [pic 22]
- [pic 23]
- [pic 24]
Solución:
- Para encontrar el límite por la izquierda, debemos tomar valores de x cercanos a 0 por la izquierda, como -0.1 y buscar los valores a los que se está aproximando la función. En la gráfica vemos que el valor de y se está aproximando a 2
[pic 25]
- Para encontrar el límite por la derecha, se toman valores de x cercanos a 0 por la derecha, como 0.1 y vemos en la gráfica que el valor de la función también se aproxima a 2
[pic 26]
- Debido a que los límites son iguales, concluimos que:
[pic 27]
- Para encontrar el valor de f(0) buscamos en la gráfica el punto en que el x=0, en esta gráfica vemos que f(0)= 2.
- Límites unilaterales (a partir de una función seccionadas)
[pic 29][pic 30][pic 28] [pic 31] [pic 32] [pic 33] | Encuentra
|
Solución:
[pic 35] | |||
[pic 36] | [pic 37] | [pic 38] | |
)[pic 39] | )[pic 40] | [pic 41] |
= No existe [pic 42]
- Límites infinitos y asíntotas verticales
Para ciertas funciones ó , a estos límites se les llama límites infinitos. También sabemos que si la función tiene un límite infinito cuando x se acerca a c, es porque la gráfica de la función presenta una asíntota vertical en x= c. [pic 43][pic 44] Para encontrar las asíntotas verticales de una función, debemos encontrar el dominio de la función y para los valores de x que no están en el dominio verificar que los límites unilaterales tiendan a infinito. EJEMPLO: Encuentra las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función [pic 45] |
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