Calculo 1

C´alculo I

Artemio Gonz´alez L´opez

Madrid, febrero de 2003

´I

ndice general

0. Preliminares 1

1. La recta real 4

1.1. Concepto de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Consecuencias de los axiomas de cuerpo . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Consecuencias de los axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. Relaciones entre  y · . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2. Otras consecuencias de los axiomas de orden . . . . . 10

1.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1. M´aximo y m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Consecuencias del axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1. La propiedad arquimediana de los n´umeros reales . . . 16

1.7.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.3. Existencia de ra´ıces n-´esimas . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Funciones reales de variable real 24

2.1. Definici´on. Dominio, imagen y gr´afica. . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . 26

2.3. Composici´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Funciones mon´otonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6. Funciones peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1. Funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7. Operaciones algebraicas con funciones . . . . . . . . . . . . . 38

3. L´ımites y continuidad 40

3.1. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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NDICE GENERAL ii

3.1.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2. Continuidad en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2. Teorema de los valores intermedios . . . . . . . . . . . 55

3.3.3. Teorema de acotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.4. Existencia de m´aximo y m´ınimo . . . . . . . . . . . . 57

3.4. Funciones mon´otonas y continuidad . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Derivaci´on 61

4.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. C´alculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.3. Derivada de la funci´on inversa . . . . . . . . . . . . . 72

4.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3.1. Crecimiento, decrecimiento y extremos locales . . . . . 76

4.3.2. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.3. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5. Reglas de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.6. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Integraci´on 95

5.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3. Continuidad e integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.4. El teorema fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . 111

5.5. C´alculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5.1. Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.5.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.5.3. Integraci´on de funciones racionales . . . . . . . . . . . 120

5.5.4. Integrales reducibles a integrales de funciones racionales122

5.6. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.6.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . 126

5.6.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . 132

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