Calculo De Un Determinante Por Los Adjuntos De Una Linea

Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.

Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por aij

Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jaij.

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.

Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.

Nota

Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Propiedades de los determinantes

Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.

det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)

Ejemplo

• Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

det (k•L1, L2, L3...) = k•det (L1, L2, L3...)

Ejemplo

• Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:

det (A•B) = det (A) • det (B)

Ejemplo

• Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)

Ejemplo

• Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.

det (0, L2, L3...) = 0

Ejemplo

• Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.

det (L1, L1, L3...) = 0

Ejemplo

• Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.

det (L1, k•L1, L3...) = 0

Ejemplo

• Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.

det (L1, L2, a•L1 + b•L2...) = 0

Ejemplo

• Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.

det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)

Ejemplo

• Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.

det (L1 + k• L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k•L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0

Cálculo de determinantes por el método de Gauss

Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes.

Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:

• Permutar 2 filas ó 2 columnas.

• Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

...