Centro De Gravedad

Centro de Gravedad “G”.

Es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

1.1Centro de gravedad para un sistema de partículas:

Es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Para mostrar como determinar este punto, considere el sistema de n partículas fijas dentro de una región del espacio. Los pesos de las partículas comprenden un sistema de fuerzas paralelas que pueden ser reemplazado por un solo peso resultante (equivalente) que tenga el punto G de aplicación definido, es decir:

z

W2

Wn W1

G y

x ̅ z ̅

y ̅

x

Esto requiere que el peso resultante sea igual al peso total de todas las n partículas; es decir: WR = ∑W

La suma de los momentos de los pesos de todas las particular con respecto a los ejes x, y, y z es entonces igual al momento del peso de la resultante con respecto a esos ejes. Así, para determinar la coordenada x ̅ de G, podemos sumar momentos con respecto al eje y. esto resulta en:

x ̅WR = x ̃1W1 + x ̃2W2 +… + x ̃nWn

De la misma manera, sumando momento con respecto al eje x, podemos obtener la coordenada y ̅; es decir:

y ̅WR = y ̃1W1 + y ̃2W2 +… + y ̃nWn

Aunque los pesos no producen un momento con respecto al eje z, podemos obtener la coordenada z ̅ de G imaginando al sistema coordenado, con las partículas fijas en él, como si estuviera girando 90º con respecto al eje x (o al y). Sumando momentos con respecto al eje x, tenemos:

Podemos generalizar estas fórmulas, y escribirlas simbólicamente en la forma:

x ̅= (∑▒x ̃ W)/(∑▒W) y ̅= (∑▒〖y ̃W〗)/(∑▒W) z ̅= (∑▒〖z ̃W〗)/(∑▒W)

Teniendo en cuenta de que:

x ̅,y ̅,z ̅ : representan las coordenadas del centro de gravedad (G) del sistema de partículas.

x ̃,y ̃,z ̃ : representan las coordenadas de cada partícula presente en el sistema.

∑▒W : es la suma resultante de los pesos de todas las partículas presentes en el sistema.

Estas ecuaciones son recordadas fácilmente si se tiene en mente que solo representa un balance entre la suma de los momentos de los pesos de cada partícula del sistema y el momento del peso resultante para el sistema. También debes considerara que para estudiar problemas que implican el movimiento de materia bajo la influencia de una fuerza, esto es, la dinámica, es necesario localizar un punto llamado centro de masa. Si la aceleración debido a la gravedad g para cada partícula es constante, entonces W = m.g. sustituyendo en las ecuaciones anteriores y cancelando g del denominado y el numerador resulta:

x ̅= (∑▒x ̃ m)/(∑▒m) y ̅= (∑▒〖y ̃m〗)/(∑▒m) z ̅= (∑▒z ̃ m)/(∑▒m)

1.2 Centro de gravedad para un cuerpo:

Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de partículas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones anteriores son aplicados al sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, resulta necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos. Considerando la particula ubicada en (x ̅,y ̅,z ̅) y con peso dW, las ecuaciones

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