Cifras Significativas

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Notación científica de un número.

La notación científica representa un número utilizando potencias de base diez. El número se escribe como un producto

A · 10 n

siendo A un número mayor o igual que uno y menor que 10, y n un número entero. La notación científica se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños. También es muy útil para escribir las cantidades físicas pues solo se escriben en notación científica los dígitos significativos.

Un número en notación científica se expresa de manera que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán después del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo.

Ejemplos:

· Distancia media Tierra-Luna = 384.000.000 m

· Distancia media Tierra-Luna = 3,84 · 10 8 m (tres cifras significativas)

· Radio del átomo de hidrógeno = 0,000000000053 m

· Radio del átomo de hidrógeno = 5,3 · 10 -11 m (dos cifras significativas)

· Velocidad de la luz en el vacío = 299.792,458 km/s

· Velocidad de la luz en el vacío = 2,99792458 · 10 8 km/s (9 cifras significativas)

· G = 0,000000000066742 N·m2/kg2

· G = 6,6742 · 10 -11 N·m2/kg2 (5 cifras significativas)

Cifras significativas en cálculos numéricos.

Cuando se realizan cálculos aritméticos con dos o más números se debe tener cuidado a la hora de expresar el resultado ya que es necesario conocer el número de dígitos significativos del mismo. Teniendo en cuenta que los números con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan medido, no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre mientras que se realizan operaciones aritméticas con dichos números. Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicación intenta cumplir con esta condición aunque no siempre se consigue. Analizaremos tres situaciones: realización de sumas y diferencias; productos y cocientes; logaritmos y antilogaritmos.

Cifras significativas en sumas y diferencias

Regla 7. En una suma o una resta el número de dígitos del resultado viene marcado por la posición del menor dígito común de todos los números que se suman o se restan.

Por tanto, en una adición o una sustracción el número de cifras significativas de los números que se suman o se restan no es el criterio para establecer el número de cifras significativas del resultado.

Por ejemplo:

(a) 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 ≌ 11,6

(b) 34,6 + 17,8 + 15 = 67,4 ≌ 67

(c) 34,6 + 17,8 + 15,7 ≌ 68,1

En los ejemplos (a) y (c) el menor dígito común a los sumandos es la décima (primer decimal), por tanto el resultado debe venir expresado hasta dicho decimal. En el ejemplo (b) el menor dígito común a los tres sumandos es la unidad, por tanto el resultado debe venir expresado hasta la unidad.

Analicemos con más profundidad las consecuencias de la aplicación de la regla 7. De partida, se suele asumir que es incierto en una unidad el último dígito de cada número que interviene en una operación. Así, la mayor de las incertidumbres en los ejemplos (a) y (c) es ±0,1. En el ejemplo (b) la mayor de las incertidumbres en los sumandos es ±1. ¿Son esas también las incertidumbres en los resultados? En principio es común asumir dichas incertidumbres pero es sencillo comprobar que esto no siempre es cierto como veremos a continuación.

Según la teoría de propagación de errores la incertidumbre del resultado de una combinación lineal como la siguiente

es

donde Δa, Δb, … … son las incertidumbres absolutas de a, b,…

Para poder aplicar esta expresión las medidas a, b,..., deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores las incertidumbres serían:

(a)

(b)

(c)

Luego, al aplicar el convenio de cifras significativas la tendencia sería asumir que la incertidumbre del resultado en el caso (c) es de ±0,1 cuando en realidad es del doble.

Cifras significativas en productos y cocientes

Regla 8. En un producto o una división el resultado debe redondearse de manera que contenga el mismo número de dígitos significativos que el número de origen que posea menor número de dígitos significativos.

Por tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicación o la división el número de dígitos significativos de las cantidades que intervienen en la operación sí es el criterio a la hora de determinar el número de dígitos significativos del resultado.

Por ejemplo:

(a)

(b)

(c)

En los tres ejemplos expuestos el menor número de cifras significativas de los diferentes factores que intervienen en las operaciones es dos: se trata concretamente del número 24 en los ejemplos (a) y (b) y del número 0,25 en el ejemplo (c). Por tanto los resultados se deben redondear a dos cifras significativas.

Analicemos de nuevo con mayor profundidad las consecuencias de la aplicación en este caso de la regla 8. Si, según el convenio de cifras significativas, asumimos que es incierto en una unidad el último dígito de cada número que interviene en cada operación, las incertidumbres absolutas y relativas son las que aparecen en la tabla nº 1.

Tabla 1.

Número

Incertidumbre

Incertidumbre relativa

(a)

24

1

1/24

4,52

0,01

1/452

100,0

0,1

1/10000

(b)

24

1

1/24

4,02

0,01

1/402

100,0

0,1

1/10000

(c)

3,14159

0,00001

-

0,25

0,01

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