Circuitos

1.-Explique que es la transformada de Laplace

Autor 1: A. Bruce Carlson “Circuitos”.

Lleva el nombre en honor a Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

Autor 2: Richard C. Dorf. “Circuitos Eléctricos”.

Una transformada es la modificación de la descripción matemática de una vaiable física a fin de facilitar los cálculos, el objetivo es utilizar la transformación para pasar las ecuaciones diferenciales que describen un circuito al dominio de la frecuenci compleja.

Esta notación permite sesaltar que, una vez evaluada la integral de la ecuación 12.1, la expresión resultante es una función de”s”. En nuestras aplicaciones, “t” representa el dominio del tiempo y, puesto que el exponente e^1 en la integral de la ecuación 12.1 debe ser adimensional, “s” debe tenr como dmensión el recíproco del tiempo, es decir, la frecuencia.

Autor 3: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm

Definición de la Transformada:

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f (t) se define como:

L {f(t)} = ∫_0^∞▒〖f(t) e^(-st) 〗 dt (12.1)

Donde el símbolo L {f(t)} se lee <<la transformada de Laplace de f(t)>>.

La transformada de Laplace de f(t) también se denomina F(s); es decir,

F(s) = L {f(t)}.

La transformada resultante es una función de la variable “s”.

2.- Explique cómo se efectúan las transformaciones de funciones.

Autor: J. David Irwin

La transformada de Laplace de una función f(t) se define por la ecuación

Donde s es la frecuencia compleja

Autor: W. Wilsson

La trasformada de Laplace permite convertir el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen un circuito al dominio de la frecuencia compleja donde se convierte en in conjunto de ecuaciones algebraicas lineales.

Autor: http://es.slideshare.net/kahtya/11-transformada-de-laplace

Nos refiere que. Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: donde s es una variable compleja Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge. La transformada de Laplace.

3.- Explique que es la transformada inversa

Autor: J David Irwin

Una transformada inversa es cuando ya tenemos la solución del dominio s y la regresamos al dominio del tiempo.

Autor: Dorf Svoboda

La unicidad es una propiedad fundamental de la transformada de Laplace. Por tanto, si f(s) tanto, para f (t) existe una y solo una función F(s). Recíprocamente, dada una trasformada de Laplace F(s), habrá una y solo una función del tiempo f (t). Esta propiedad se expresa como

f(t)= L ־1 [F(s)]

que significa que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y existe para t≥0.

Autor: Richard C. Dorf

La transformada inversa de Laplace se define con la integral compleja de inversión

f(t)=1/2πj ∫_(∝-j∞)^(∝+j∞)▒〖F(s) e^st ds〗

Ejemplo:

Dado que

F(s)=(12(s+1)(s+3))/(s(s+2)(s+4)(s+5)), encuentre la función f(t)= L ־1 [F(s)]

Solución.

Al expresar F(s) como una expansión en fracciones parciales se obtiene

(12(s+1)(s+3))/(s(s+2)(s+4)(s+5))=K_0/S+K_1/(S+2)+K_2/(S+4)+K_3/(S+5)

Para determinar K_0 se multiplican por s ambos miembros de la ecuación, con lo que se obtiene:

(12(s+1)(s+3))/(s(s+2)(s+4)(s+5))=K_0+(K_1 s)/(S+2)+(K_2 s)/(S+4)+(K_3 s)/(S+5), al evaluar la ecuación en s=0 se obtiene:

((12)(1)(3))/((2)(4)(5))= K_0+0+0+0

K_0= 36/40

De manera similar

(s+2)F(s)|s=2=(12(s+1)(s+3))/(s(s+4)(s+5))|_(s=2)= K_1, K_1=0

Por medio de la misma técnica se encuentra que K_2 36/8 y K_3 -32/5. Asi, F(s) puede escribirse como:

F(s)=(36/40)/s+1/(s+2)+(36/8)/(s+4)-(32/5)/(s+5)

Entonces

f(t)= L ־1 [F(s)] es

f(t)=(36/40+1e^(-2t)+36/8 e^(-4t)-36/5 e^(-5t) )u(t)

4.- Explique cómo aplicar el teorema del valor inicial.

Autor 1: A. Bruce Carlson

En sistemas de control, en ocasiones se requiere conocer el comportamiento de f(t) en el instante t =0^+ o cuando t ∞. La información deseada se obtiene directamente de F(s), sin inversión, con la aplicación de relaciones simples.

Considerando un problema transitorio típico con la condición inicial f (0^-). Según la excitación y las condiciones de continuidad.

Autor 2: James W. Nilsson

Se basa en la superposición de que f (t) no contiene funciones impulsivas, Si conocemos la transformada de Laplace de una función, podemos hallar el valor inicial de dicha función si a la función transformada le multiplicamos por un factor s y hacemos tender a infinito precisamente la variable s:

Autor 3: http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_16/tema_16_13.pdf

El teorema del valor inicial permite determinar las condiciones iniciales de un circuito, es decir el comportamiento de f(t) en t=0, a partir del conocimiento de su transformada de Laplace F(s).

El teorema del valor inicial dice:

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