Cognitivismo, Condutivismo Constructivismo

Introducción

Vamos a hacer un pequeño recorrido por los conceptos fundamentales del trabajo con matrices y Determinantes de cara a fundamentar el empleo de las mismas en el apartado de resolución de Sistemas de Ecuaciones.

Usando la Classpad podemos ahorrarnos mucho trabajo, pero Vamos a intentar hacer un desarrollo teórico lo más completo posible para que conozcan las distintas estrategias de cálculo que se pueden servir en caso de tener que echar mano de lápiz y papel (sobre todo en la sección dedicada a los Determinantes)

Algo de Historia de las Matrices

El primero que empleó el término ‘’matriz’’ fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en el año 1850.

Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto empleaban tablas con números.

Voy a enseñarte un problema que aparece en la obra "Los nueve capítulos" que pasa por ser la más importante de las matemáticas chinas de la antigüedad y la propuesta de resolución que se hace en esta obra:

Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del tercero hacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y uno del tercero hacen 34 medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?

La estrategia de resolución que propone el autor es la siguiente:

1º Se crea la tabla siguiente:

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

2º A continuación da instrucciones para reducir

la tabla a esta forma:

0 0 3

0 5 2

36 1 1

99 24 39

Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matemáticas el Álgebra de matrices. A este desarrollo contribuyó de forma decisiva el matemático inglés Arthur Cayley. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas.

Nociones fundamentales sobre matrices

(Las fundamentales a la hora de resolver los Sistemas de Ecuaciones)

Concepto de matriz:

Ya hemos intuido que una matriz no es más que una tabla de números distribuidos en filas y columnas de forma que todas las filas tienen el mismo nº de elementos y lo mismo para todas las columnas.

Dimensión u orden de una matriz:

Es una forma de definir el nº de filas y de columnas que tiene una matriz. Si tiene m filas y n columnas, se dice que la dimensión u orden de la matriz es de m x n ("eme por n").

A los elementos de una matriz se les denota por aij siendo i el nº de fila y j el nº de columna. Así el elemento a34 sería el elemento de la tercera fila que ocupa la cuarta columna (es igual que jugar a los barquitos).

Tipos de matrices:

Matriz fila y matriz columna

(Las que sólo tienen una fila o una columna) A estas matrices se las suele denominar vectores.

Matriz cuadrada

(Su orden es m x m, es decir nº filas = nº columnas, pero normalmente se nombran como matriz de orden m)

Diagonal principal de una matriz cuadrada

(La he pintado de rojo: estaría formada por los elementos a11, a22, es decir por los elementos en los que coincide el nº de fila con el de columna)

Diagonal secundaria de una matriz cuadrada

(La he pintado de azul: estaría formada por los elementos a12, a21, es decir por los elementos en los que la suma de los subíndices del nº de fila con el de columna, es igual a una unidad más que el orden de la matriz)

Matriz rectangular

(Orden m x n, el nº filas es distinto del de columnas)

Matriz traspuesta

(Se denota por mt , supuesta la matriz m) Es el resultado de intercambiar ordenadamente las filas por columnas, partiendo de la primera fila de la matriz m.

La sintaxis para obtener la traspuesta de una matriz en la Classpad es trn (matriz). La orden trn la tienes en el menú Action:Matrix-create.

Matriz nula

(Todos sus elementos son cero)

Matriz diagonal

(Matriz cuadrada en la que todos sus elementos son cero menos los de la diagonal principal)

Matriz escalar

(Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales)

Matriz unidad

(Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno)

Matriz triangular

(Matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Si los elementos diferentes de cero están por encima se le llama triangular superior y si los elementos diferentes de cero están por debajo de la diagonal principal, se le llama triangular inferior)

Matriz opuesta

Dada una matriz m, su opuesta -m es aquella en la que todos los elementos de la matriz son los mismos cambiados de signo.

Operaciones con matrices

Igualdad de matrices

Para que dos matrices sean iguales, primero tienen que cumplir el tener la misma dimensión y luego serán iguales cuando tengan iguales los elementos que ocupen la misma posición dentro de la matriz.

Suma y diferencia de matrices

Vamos a utilizar la Classpad para obtener la definición de la suma de matrices:

Hemos definido dos matrices genéricas m y n

Hemos sumado m+n y n+m y hemos comprobado que la suma de matrices tiene la propiedad conmutativa.

Como ves se suman los elementos de la matriz que ocupan el mismo lugar (tienen los mismos subíndices).

Esto también nos dice que no se pueden sumar matrices con diferentes dimensiones.

Para restar matrices procedemos de la misma forma, pero teniendo en cuenta que la resta no tiene la propiedad conmutativa.

El elemento neutro de la suma o diferencia es la matriz nula del mismo orden de la matriz de referencia.

También la suma tiene la propiedad

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