Combinatoria

1. ¿QUÉ ES LA COMBINATORIA?

En esta unidad se pretende estudiar técnicas de recuento que permitan conocer el número de elementos de aquellos conjuntos o la forma de realizar agrupaciones con sus elementos, en los que, por la extensión de los mismos, no es posible contar de uno en uno los elementos, pero que poseen algunas propiedades que permiten deducirlo utilizando algún procedimiento o fórmula.

Habrá situaciones en las que al cambiar de orden los elementos de una agrupación se obtenga una distinta y otras en las que se obtenga la misma. Algunos tipos de agrupaciones permitirán repetir algunos elementos y en otras no será posible.

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica a buscar procedimientos y estrategias para el recuento de los elementos de un conjunto o la forma de agrupar los elementos de un conjunto.

OBJETIVOS

Comprender el objeto de estudio de la combinatoria.

Operar con soltura con factoriales y números combinatorios.

Aplicar el principio de adición y de multiplicación como técnicas de recuento.

Comprender los conceptos de variación, permutación y combinación, sin repetición y con repetición.

Saber formar las variaciones permutaciones y combinaciones, sin repetición y con repetición, de cualquier orden.

Deducir la fórmula para calcular el número de variaciones, permutaciones y combinaciones, sin repetición y con repetición, de cualquier orden.

Conocer las diferencias fundamentales entre las distintas formas de agrupar los elementos de un conjunto.

Resolver diferentes problemas utilizando variaciones, permutaciones y combinaciones, sin repetición y con repetición y los principios de adición y multiplicación.

HOJAS DE TRABAJO

Al final de cada apartado encontrarás un enlace a una hoja de trabajo en la que aparecen algunas actividades para trabajar los conceptos tratados en dichos apartados.

Al final del apartado "11 Resumen", aparece una relación más completa de actividades sin clasificar para que se aprenda a diferenciar las distintas agrupaciones. Para ello se puede utilizar el esquema que aparece en dicho apartado.

Por último el apartado "12 Examen", permitirá al alumnado hacer una autoevaluación de los conceptos y procedimientos adquiridos con el tema.

2. FACTORIAL. NÚMERO COMBINATORIO.

Se llama factorial de un número natural "n" y se representa por n!, al producto de los n primeros números naturales (excluido el 0).

n! = n • (n-1) • (n-2) • . . . • 1

Para el número 0 esta definición no tiene sentido. Se define el factorial de 0 por 1: 0! = 1 En la siguiente escena puedes calcular el factorial de cualquier número.

Actividad 1.

Calcula en tu cuaderno el factorial de los diez primeros números naturales y comprueba el resultado con la escena.

Actividad 2.

Simplifica las siguientes expresiones:

Se llama número combinatorio m sobre n a la expresión:

La siguiente escena te permite calcular cualquier número combinatorio.

Actividad 3.

Calcula en tu cuaderno los siguientes números combinatorios y comprueba después el resultado con la escena:

Actividad 4.

Observa el desarrollo y el cálculo de los números combinatorios de la actividad anterior. ¿Puede obtenerse en algún caso un número racional como resultado?

Hoy en día, con la utilización de la calculadora, es fácil calcular cualquier número combinatorio, sin embargo resulta bastante interesante el cálculo de números combinatorios con el siguiente triángulo, conocido entre otros nombres como Triángulo de Pascal, en la que cada número combinatorio se obtiene sumando los dos que tiene encima. En la siguiente escena aparecen las siete primeras filas.

En el triángulo se pueden apreciar algunas propiedades interesantes de los números combinatorios, que se pueden consultar en la siguiente página.

3. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS.

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En el triángulo de Pascal se puede comprobar que el primer elemento de cada fila es 1

En el triángulo de Pascal se puede comprobar que el último elemento de cada fila es 1.

En el triángulo de Pascal se puede comprobar que el segundo elemento de cada fila es m.

En el triángulo de Pascal se puede comprobar que el penúltimo elemento de cada fila es m.

En el triángulo de Pascal se puede comprobar que las filas se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

En el triángulo de Pascal se puede comprobar que cada número combinatorio se obtiene sumando los dos números combinatorios que tiene sobre él.

La suma de todos los números combinatorios cuyo número superior es m es igual a 2m.

4. PRINCIPIOS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN.

Cardinal de un conjunto. Se llama cardinal de un conjunto A y se representa por card(A) o por |A| al número de elementos que tiene el conjunto.

Principio de adición. Para contar los elementos de dos o más conjuntos que no tengan elementos comunes, basta con sumar el número de elementos de cada uno de los conjuntos:

En caso de que los conjuntos tengan elementos comunes, para contar el número total de elementos habrá que sumar los elementos de ambos conjuntos y restar el número de elementos repetidos.

Esta fórmula se puede generalizar para tres o más conjuntos de la siguiente forma

En la siguiente escena puedes ver algunos ejemplos de aplicación de este principio.

Actividad 1.

Lanzamos dos dados al aire y sumamos los resultados obtenidos en las caras superiores. ¿De cuántas formas se puede obtener múltiplo de 4? ¿De cuántas múltiplo de 6? ¿Y múltiplo de 4 y 6? ¿Y múltiplo de 4 ó 6?

Actividad 2.

En una academia de idiomas se imparten clases de inglés, francés y alemán. En el curso actual, 66 alumnos estudian al menos inglés, 55 francés y 59 alemán, 17 inglés y francés, 22 inglés y alemán, 19 francés y alemán y 7 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian únicamente inglés? ¿Cuántos alumnos estudian un único idioma?

Actividad 3.

Una urna contiene 100 bolas numeradas de la forma: 00, 01, ... 98, 99. Se saca una bola al azar, sea M la primera cifra y N la segunda. Determinar en cuántos casos se pueden dar las

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