Combinatoria

TECNICAS DE CONTEO

Se les denomina técnicas de conteo a: las variaciones, permutaciones y combinaciones las cuales

son parte de las Matemáticas Discretas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con

los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número, existen distintas formas de

realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los

elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos, etc.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo,

los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

a) Principio Multiplicativo.- Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el

primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el

segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta

actividad puede ser llevada a efecto de:

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados

a efecto, uno tras otro.

Ejemplo:

Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de

su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes

las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada

y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta

persona de construir su casa?

Solución:

Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2

N2= maneras de construir paredes = 3

N3= maneras de hacer techos = 2

Técnicas de conteo Pág. 44

N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

b) Principio Aditivo.- Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas

para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o

formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las

alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser

llevada a cabo de

M + N + .........+ W maneras o formas

Ejemplo

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar

de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se

encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga (8 u 11 kilogramos),

en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora

de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores

diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en

solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay

semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

VARIACIONES

Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta

que: la selección de elementos, orden en que se colocan y la repetición de elementos.

Técnicas de conteo Pág. 45

Variaciones sin repetición

Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas

agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que

disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si

están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular

mediante la fórmula:

Ejemplo:

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3 de ellos de muchas maneras:

cada grupo ordenado decimos que es una variación de estos 5 elementos de orden 3, o también,

tomados de 3 en 3.

Solución:

n= 5

p=3

sin repetición

El número de variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por V5

3 y equivale a:

V5

3 = 5.4.3 =

5.4.3.2.1

2.1

=

5!

= 60

2!

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer

elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para

empezar:

a _ _

b _ _

c _ _

d _ _

e _ _

Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo 4 posibilidades:

...