Combinatoria Matemática

CARACTERISTICAS

PROCESO

QUÉ SE NECESITA SABER

Pensamiento combinatorio: posibilidad de considerar todas las alternativas posibles ante un determinado problema, así como todas las combinaciones

posibles entre ellas. Esta capacidad es importante para resolver problemas de tipo

lógico-matemático, pero también se extiende a otros aspectos cotidianos de la vida

o al razonamiento moral. Para investigarlo se proponen cuatro tipos de problemas

que requieren poner en juego el pensamiento combinatorio: problema de los

dados, problema de la pizza, el dilema de Heinz

Los problemas combinatorios se clasifican según la cantidad de operaciones que se necesite efectuar para resolverlos en:

• Problemas combinatorios simples: los que se resuelven mediante una sola operación combinatoria.

• Problemas combinatorios compuestos: los que se resuelven aplicando más de una operación combinatoria.

En el desarrollo de los capítulos siguientes ejemplificaremos estas clasificaciones.

En la matemática discreta existen problemas que se resuelven aplicando determinadas fórmulas (según la naturaleza de los elementos combinatorios presentes en ellos) pero la mayoría puede resolverse mediante dos principios generales:

1. El Principio Aditivo o Regla de la Suma.

2. El Principio Multiplicativo o Regla del Producto.

El Principio Multiplicativo generalmente se asocia con el procedimiento utilizado en los primeros años escolares para encontrar la cantidad de elementos que contiene determinado conjunto; de ahí que la mayoría de los maestros lo reconozcan como "Método de Conteo".

Como a menudo el número de combinaciones o arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto admite que en cada elección aparezca una y solo una clase de combinaciones, entonces el Principio Aditivo se puede expresar de la manera siguiente:´

1.1.-Principio Aditivo

"El número total de combinaciones que se pueden hacer con todas las clases de elementos de un conjunto, es igual a la suma de las combinaciones de cada una de las clases".

Nota: se entiende como clase a todos los subconjuntos que se forman con los elementos del conjunto en cuestión.

A través del análisis y solución del siguiente ejemplo puede apreciarse la aplicación de este método.

EJEMPLOS

Marcos tiene 3 camisas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas Marcos puede combinar las camisas y los pantalones?

Designemos a las camisas por las letras a, b, c. y a los pantalones por x, y, z, u. si establecemos la distribución que puede hacerse entre las camisas y los pantalones se observa que:

Observa que cada muestra formada aparece una y solo una vez. El número total de muestras se obtiene fácilmente sumando todas las combinaciones obtenidas mediante el proceso anterior:

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= 12

1.2.- Principio Multiplicativo.

"Si una cosa cualquiera puede ocurrir de m maneras diferentes y si después de haber ocurrido una cualquiera de esas maneras, otra cosa puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces las dos cosas en ese orden, pueden ocurrir de m por n maneras".

En este principio se afirma que si dos cosas ocurren una después de la otra, el número total de formas en que pueden ocurrir ambas, se obtiene multiplicando el número de formas de la primera por el número de formas de la segunda.

EJEMPLOS

¿Cuántas sílabas de dos letras, que comienzan por una consonante, existen en el idioma español?

En este caso la aplicación del método aditivo a de conteo hace lenta la labor por el número de muestras que tiene el experimento.

La primera cosa es la elección de la primera letra (una consonante) y la segunda, la elección de una vocal. Como en español existen 24 consonantes y solo 5 vocales, la segunda elección puede ocurrir de 5 formas. En total pueden obtenerse de 24× 5 = 120 sílabas.

PENSAMIENTO COMBINATORIO: es el que aparece cuando en la solución de una tarea se utilizan los principios generales y los elementos de la Teoría Combinatoria, dándose tratamiento a las ideas combinatorias presentes.

ELEMENTOS DE LA TERORÍA COMBINATORIA: variaciones, permutaciones o combinaciones (con o sin repetición).

IDEAS COMBINATORIAS: una de las formas de expresión del pensamiento combinatorio.

ALGUNOS EJEMPLOS DE EJERCICIOS QUE APARECEN EN LOS DIFERENTES GRADOS DE LA ESCUELA DONDE ESTÁN PRESENTES IDEAS COMBINATORIAS.

1. Ofrece

...