Logica Matematica

PROPOSICIONES SIMPLES Y SENTIDO COMÚN.

Una proposición es una aserción o enunciado expresado en lenguaje natural escrito o hablado, mediante una expresión declarativa; que puede ser cierta o falsa, pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática...

La proposición puede ser simple o compuesta y se denotan generalmente por las ultimas letras del alfabeto (p, q, r, s,…, z)

Una proposición es simple, cuando no puede parirse en partes constitutivas que sean a su vez proposiciones. Como ejemplos de proposiciones simples podemos señalar, las siguientes:

• Está lloviendo

• Cometí una equivocación al matricular este curso

Las proposiciones simples deben ser enunciados simples del español, pero debemos recordar que el español usual es un lenguaje informal, o sea que es un lenguaje cuya gramática está sujeta a modificación de estilo y la manera en la cual una verdad puede ser expresada correctamente en algo que depende en mucho de la opinión de cada quien. Debe tenerse cuidado de emplear ambigüedades de las que surgen en la conversación ordinaria y cuidarse del lenguaje ambiguo que se usa deliberadamente en los discursos políticos.

Para ilustrar la necesidad de definiciones cuidadosas, consideraremos la proposición "las ventas están bajas". Antes de que podamos determinar si esta proposición es verdadera o falsa, debemos precisar el significado de "baja". definiendo que "baja" significa por ejemplo "menos del promedio diario". Si no tenemos definiciones precisas para todas nuestras palabras y frases, entonces tendremos sólo un lenguaje informal que puede dar lugar a ambigüedades. De ahora en adelante supondremos que todos los enunciados considerados son proposiciones y tomaremos en cuenta su contenido para determinar su validez, antes de poder determinar si son falsas o verdaderas. Por ejemplo, sea:

• p= la tierra es plana

• q= -17+38= 21

• r= x ≥ y-9

• s= Herrera será campeón de béisbol en el presente campeonato.

• t= Hola ¿cómo estás?

• w= pásame el libro por favor

Obsérvese, que las proposiciones p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. La proposición r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor signado a las variables x y y en determinado momento. La proposición s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falso o verdadera se tendría que esperar a que termine el presente campeonato. Sin embargo las proposiciones t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un criterio de verdad (falso o verdadero), el primero, t, es un saludo y el otro, w, es una orden o solicitud.

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS.

Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos.

Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas propiedades del lenguaje informal. En particular hacemos abstracción de las propiedades lógicas de las conectivas con las cuales combinamos proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Tenemos que hacer reglas precisas sobre el modo como estas conectivas combinan proposiciones y, para construir un álgebra necesitamos tener una manera simbólica de representar las proposiciones simples y también las conectivas.

No debemos olvidar que dentro de la esfera de la lógica tradicional, calcada sobre un gramaticismo un tanto confuso y discutible, el lenguaje corriente presenta ambigüedades. Por eso, en la lógica moderna se trata de simplificar y de purificar el lenguaje lógico de todo elemento que se preste a confusiones y de que, por la tanto, de lugar a malentendidos. Veamos por ejemplo, como ejemplo, lo siguiente:

Si quisiéramos expresar en términos de lógica simbólica la siguiente expresión

• Lenguaje natural: "Pancho es un artista de cine y María se enojó"

• Se traduciría en lenguaje simbólico en "p ^ q", en donde:

p = Pancho es un artista de cine

q = María se enojo

^ = conjunción conectiva "y"

Por lo pronto vamos a considerar las siguientes conectivas (conectores lógicos), signos de importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo lógico, así como para la determinación de verdad o falsedad de las proposiciones. El término "conectivas" se refiere a ciertas conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas. Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong: "llamamos proposiciones colorativas a aquellas proposiciones compuestas, es decir, son proposiciones que consisten en la unión de dos o más proposiciones", Y así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las proposiciones componentes se efectúa mediante las conjunciones. La característica fundamental de toda proposición coligativa es que su verdad depende de la verdad de las proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más corrientes:

a. La negación

b. La conjunción

c. La disyunción inclusiva

d. La disyunción exclusiva

e. La condicional

f. La bicondicional

CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD.

A partir de los conectores u operadores lógicos, listado anteriormente, es posible formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples y conectadas entre sí por los conectores lógicos), sin embargo los criterios de verdad resultantes de los operadores lógicos están regidos por determinadas reglas de la lógica booleana que señalaremos a en forma posterior.

Pero para ser más preciso es necesario tener en cuenta que las proposiciones simples están determinadas por condiciones dialécticas de tiempo y espacio. Por ejemplo si se señala "llueve y no tengo paraguas", al construir la tabla de verdad es necesario resolver ¿en dónde? y ¿cuándo? La afirmación "llueve" se entiende en que es en ese momento y ese lugar y con una simple mirada al cielo sabemos si es cierto o falso. Hechas estas observaciones pasamos a revisar las reglas específicas que rigen a cada conector lógico.

• LA NEGACIÓN

La negación se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más brevemente, "no".

A partir de la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento pertenece o no a un conjunto y se señaló que si no es elemento del conjunto, entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la negación se refiere al conjunto complemento.

Se establece el siguiente principio

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