TEORÍA COMBINATORIA - MATEMÁTICAS

TEORÍA COMBINATORIA

Factorial de un número: Se denomina factorial de un número natural “n” al producto de una serie de factores decrecientes en una unidad cada vez, el primero de los cuales es “n” y el último 1.

n!=n(n-1)(n-2)……..3 .2 . 1

Ejms: a) 7! Se lee “siete factorial” o “factorial de siete” y será 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040

b) 8!

El símbolo ! que se usa para indicar el factorial de un número se debe al matemático Kramp.

Simplificación de fracciones que contienen factoriales

Ejms: Simplificar:

a) 7!15!/12!9! b) (22! +21!)/(20!+19!) c) (x+1)!/x(x-2)! d) (x^2-16)!(x+3)!/(x+4)!(x^2-17)!

Teoría Combinatoria

Es la rama de la matemática que estudia la cantidad de grupos distintos que se pueden formar con un número dado de elementos, distinguiéndose cada grupo de los restantes por algunas condiciones que se dan en cada caso para la formación de los mismos. Estudiaremos tres tipos de agrupaciones: Permutaciones, Variaciones y Combinaciones.

Teorema Fundamental

Si un primer evento puede ocurrir de “m” formas diferentes y, después de que éste ocurra, un segundo evento puede ocurrir de “n” formas diferentes en que puede ocurrir la secuencia de los dos eventos es igual a “m.n “.

Ejms: a) Si para el cargo de Presidente de una organización cualquiera se presentan tres candidatos ( A, B y C ) y para el de Vicepresidente se presentan otros cuatro ( M, N, P y Q ), existen 3 . 4 = 12 posibles parejas de Presidente y Vicepresidente.

b) Si en una librería disponen de tres libros distintos de Algebra ( A1, A2, A3 ), dos de Biología ( B1, B2 ) y cuatro de Contabilidad ( C1, C2, C3, C4 ), existen 3 . 2 . 4 = 24 formas distintas de comprar tres libros, uno de cada materia.

Permutaciones (P_n). En una permutación de “n” objetos, una ordenación difiere de otra exclusivamente por el orden de colocación de los objetos. El número total de ordenaciones se calcula por la siguiente fórmula:

P_n=n!

Ejms: a)

b)

Variaciones V_(m ,n)=⏟(m(m-1)(m-2)…(m-n+2)(m-n+1))┬(n factores)

En una Variación, una ordenación difiere de otra por el orden en que se toman los elementos o por tener algún elemento distinto.

Ejm: De un grupo de 7 personas debemos elegir un Presidente, un Vicepresidente y un Secretario. ¿ De cuántas formas distintas se puede conformar esta junta ?

Para P se puede elegir cualquiera de los 7, por lo que se tienen 7 opciones distintas.

Teniendo el P, el Vp puede ser elegido entre las 6 personas restantes.

Y el S, puede ser elegido entre las 5 personas que quedan.

Se tiene pues, 7 opciones para P, 6 opciones para Vp y 5 opciones para S.

Por el Teorema Fundamental: 7 . 6 . 5 = 510. En efecto, la junta en la que A es P, B es Vp y C es S es distinta a la junta en la que B es P, C es Vp y A es S y es distinta también a la junta en la que esos cargos son ocupados por A, B y C.

El cálculo de una variación se facilita teniendo en cuenta que el desarrollo de V_(m ,n) es igual al producto de “n” factores decrecientes en una unidad por vez, siendo “m” el primero de ellos, como se muestra en los ejemplos.

Calcular:

a) V_7,4 b) V_(x+2,6) c) V_(m-n+1,2)

Fórmula Factorial de las Variaciones

Teniendo: V_(m,n)=m(m-1)(m-2)…(m-n+2)(m-n+1), si multiplicamos y dividimos por (m-n)!, tenemos:

V_(m,n)=(m(m-1)(m-2)…(m-n+2)(m-n+1)(m-n)!)/(m-n)!

El numerador es igual a m!, por lo cual: V_(m,n)=m!/((m-n)!)

Esta fórmula permitirá desarrollar una variación en los casos en los que el valor de n sea desconocido.

Ejms: a) V_(x+5,x+3) b) V_(m-n+p,p+n)

Combinaciones. Es el conjunto de ordenaciones que se pueden obtener de tal forma que una ordenación sea distinta de otra, sólo si tiene algún elemento diferente. Para calcular una combinación basta con tomar la variación de esos elementos y dividirla por la permutación de los mismos:

C_(m,n)=V_(m,n)/P_n C_(m,n)=(m(m-1)(m-2)…(m-n+2)(m-n+1))/n!

Ejms: a) C_7,3 b) C_(m,3) c) C_(2x+1,3)

DIVERSIONES.

1) Determinar el valor de las siguientes expresiones:

1) P_7 2) ) P_n 3) ) P_((x+1)) 4) ) P_((2n-1)) 5) ) P_((3-x)) 6) ) P_((x-2))

2) Desarrollar las siguientes variaciones:

1) ) V_(7,n) 2) V_(2x-3,x-1) 3) V_(m-n+p,p+n) 4) V_(x,x-4) 5) V_(x,x-6)

3) Desarrollar y simplificar las siguientes combinaciones:

1) C_5,2 2) C_9,4 3) C_(m,3) 4) C_(x+7,1) 5) C_(2x+1,3) 6) C_(3,n) 7) C_(x-5,x-6)

8) C_(5,x-2) 9) C_(m+n,n-1)

4) Calcular las siguientes combinaciones:

1) C_33,30 2) C_18,12 3) C_20,14 4) C_55,53 5) C_10,8

5) Calcular las siguientes expresiones:

1) (C_14,12 . C_15,15 . P_3)/(V_13,2 . C_7,2 ) 2) V_(m+2,3)/(C_(m+2,3) . P_3 ) 3) (C_(3,x) . p_x . P_(2-x))/6 4) (C_10,3 . (C_11,4- C_10,5))/(C_13,11 . V_5,4 . C_12,0 ) 5) (C_10,8 + C_8,6+ C_6,4)/(V_4,2 + V_5,2 + V_6,2 + V_7,2 )

Fórmula Factorial de las Combinaciones C_(m,n)=m!/(m-n)!n! Para n desconocido.

Ejms: Desarrollar: a) C_(x+6,,x+4) b) C_(x-5,x-6)

Combinaciones Equivalentes

Dos combinaciones C_(m,n_1 y ) C_(m,n_2 ) son equivalentes si n_1+n_2=m.

C_(m,n_1 )=m!/((m-n_1 )!n_1 !) n_1=m-n_2

sustituyendo: C_(m,〖m-n〗_2 )=m!/((m-m+n_2 )! (m-n_2 )!)=m!/(n_2 !(m-n_2 )!) esta última expresión es el desarrollo de C_(m,n_1 ),

así C_(m,n_2 )=m!/((m-n_2 )!n_2 !) , por lo que se tiene la siguiente propiedad c_(m,n)=C_(m,m-n)

Ejms: a) C_15,7=C_15,8 b) C_8,3 c) C_12,7 d) C_26,25 e) C_20,14 f) C_20,16

Factorial de cero: 0!

El valor de toda combinación en la que m y n son cantidades iguales es la unidad

c_(m,n)=1, por lo que 1/0!=1, en consecuencia 0!=1. c_(m,n)=c_(m,0)=1

Ejms: Calcular las siguientes expresiones: a) (C_8,4 . C_7,3)/(C_7,4 . C_10,6 ) b) (C_10,8+ C_8,6+C_6,4)/(V_4,2+ V_5,2+V_6,2+V_7,2 )

Relación entre m y n en las fórmulas combinatorias

Siendo m y n, respectivamente, el número total de elementos de los que se dispone y el número de elementos que entran en cada ordenación, es obvio que m y n deben

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