Complejos

DESARROLLO HISTORICO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Con pocas excepciones, hasta ahora nos hemos limitado al uso del sistema de números reales. Sin embargo, ya hemos observado la necesidad de los números complejos. De hecho, en nuestro primer estudio de los números, llegamos a la conclusión de que el sistema de los números complejos debía ser considerado como el general del algebra. El propósito de este capítulo es hacer un estudio formal de los números complejos y sus propiedades.

Lo estudiado hasta ahora es eficiente para desarrollar muchas de las operaciones con números complejos, pero debido a que es muy útil y conveniente introducir el uso de la forma trigonométrica de un número complejo, se requerirá además algún conocimiento de trigonometría plana.

DEFINCIONES Y PROPIEDADES

Resolver la ecuación cuadrática , es buscar un número que satisfaga la condición de que que es un numero negativo. Pero según la regla de los signos de la multiplicación de números reales, sabemos que todo número real tiene la propiedad de que su cuadrado es un número real no negativo.

Por tanto, el número x que es una solución de no puede ser un número real. Para que sea posible la resolución de la ecuación introducimos un nuevo número dado por la definición siguiente:

Definición. La cantidad se llama la unidad imaginaria. Se la representa con el símbolo i y tiene la propiedad de que .

Para representar la raíz cuadrada de un número negativo distinto de -1, introducimos una nueva clase de números así:

Definición. Un numero de la forma bi, en donde b es cualquier número real e i es la unidad imaginaria, recibe el nombre de numero imaginario puro.

En relación con nuestro estudio de la ecuación cuadrática vimos que bajo ciertas condiciones las raíces de tal ecuación son números expresados como la suma de un número real y un número imaginario puro. En consecuencia tenemos:

Definición. Un número de la forma , en donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, se llama un número complejo.

Si pero , el número complejo toma la forma lo que significa que los números imaginarios puros son un caso particular de los números complejos.

Si , el número complejo toma la forma , que es un número real. Podemos recordar que a este respecto que un número real es simplemente un caso particular de un número complejo; en consecuencia el conjunto de todos los números reales es un subconjunto de todos los números complejos.

OPERACIONES FUNDAMENTALES

Las cuatro operaciones de adicción, sustracción, multiplicación y división se llaman las operaciones fundamentales. Cuando estas operaciones se aplican a números complejos sus definiciones son tales que obedecen todas las leyes del algebra con dos excepciones. Una excepción se ha observado ya, a saber, que , que es una propiedad

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