Complejos

I.- Números complejos

a11 .- Introducción. 7

a2.- historia y aplicaciones 7

1.1.- Definición de número complejo 8

1.2.- Representación gráfica de un número Complejo 8

1.3.- Operaciones entre Números Complejos 9

1.4.- Ejemplos de (+ - multiplicación y división con Números Complejos 9

1.5.- Definición de un número Complejo 11

1.6.- definición del producto en forma polar de dos números complejos 12

1.7.- definición de potencia en forma polar de un número 12

1.8.- Potencias y Raíces de un número Complejo, fórmula de Moivre. 14

1.9.- Ejemplos de cálculo de potencias y raíces en forma polar 15

1.10.- Problemas propuestos 19

a11 .- Introducción.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los Números complejos contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

El objetivo del uso de los números complejos se debe a la necesidad de resolver problemas donde aparecen raíces negativas como que en los números reales no están definidos, por lo que se ha creado un sistema de los números complejos C, que es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de números reales con dos operaciones binarias: la adición + y la multiplicación definidas como sigue:

a 12 .- Un poco de historia

El estudio de los números complejos data desde los orígenes de la historia de la humanidad ya como sociedad establecida en la India cuando se les presentó el problema de el cálculo de la raíz cuadrada de un número negativo.

Pero no es sino hasta el siglo XVI cuando en Italia Paciolo, Cárdan , Tartaglia y Bombelli inician el tratamiento formal de la aritmética y el álgebra de los números complejos

Para el siglo XVII Leonard Euler ( 1709 a 1783 ) establece el algoritmo

Y = 〖e^iθ〗^= cosθ ± i senθ

En el siplo XVIII El matemático francés Argand ( 1768 – 1822 publica el método de representación de los números complejos en el plano.

a 13.- Aplicaciones

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i.

Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

En matemáticas, los números constituyen un campo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en como la amplitud y en como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

Definición de números Complejos:

Definimos el número complejo z = a + bi donde a y b son números reales e i la parte imaginaria

En el plano complejo la parte real se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y la imaginarios en el eje vertical.

1.2 .- Representación geométrica de números complejos.

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a + bi es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

Los números complejos reales sus coordenadas se encuentran en la posición (x,0) o (-x,0) si los ubicáramos están en el eje x se ubican en las abscisas o (el eje real) a la derecha del cero con 00 grados o a la izquierda del cero pero con 1800 y los números complejos sólo imaginarios o imaginarios puros sus coordenadas son yi=(0,y) o –yi = (0, -y), es decir están en el eje imaginario; es decir 0+yi estará ubicado en la ordenada positiva a 900 y si es 0-yi en la parte de las ordenadas negativas a 2700.

Los números complejos que pertenecen al primer cuadrante, sus coordenadas x>0 y y>o y estarían ubicados su posición entre 00< Ѳ< 900 los números complejos cuyas coordenadas pertenecen al segundo cuadrante serían x<0, y>0 y sus ángulos entre 900< Ѳ< 1800 los números complejos que pertenecen al tercer cuadrante sus coordenadas x<0, y y<0 y su ángulo estará entre 1800< Ѳ< 2700 y los números complejos que pertenecen al cuarto cuadrante x>0 y y<0 y sus ángulos entre 2700< Ѳ< 3600 , a los números complejos los podemos ubicar como vectores, donde inician serán en (0,0) y la coordenada (x, y) será su parte final.

Además

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