Coordenadas cilindricas Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

[pic 2]

[pic 3]

Cálculo II

Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

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Índice del tema

1. Coordenadas cilíndricas

1. Coordenadas esféricas

1. Ejercicios resueltos

1. Ejercicios propuestos

Introducción        4

Coordenadas Cilíndricas        5

Coordenadas esféricas        5

Ejercicios resueltos        6

Ejercicios propuestos        9

Resumen        10

Introducción

El sistema de coordenadas cartesianas permite representar a diversas superficies cuadráticas y regiones en el espacio. Sin embargo, para aquellas superficies cilíndricas o esféricas, o descripción de regiones en donde intervienen estas superficies, se hace más fácil y manejable el uso de sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas.

Tanto los sistemas de coordenadas cilíndricas como esféricas permiten representar cualquier punto del espacio a través de tres parámetros.

Las aplicaciones dentro de la ingeniería son variadas. Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo proporcionan las conocidas grúas torre. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por [pic 4], la longitud del brazo      ([pic 5]), y cuánto hay que desplazar la carga  a lo largo de la flecha ([pic 6]) (Ver figura) (1). En el caso de las coordenadas esféricas, en la actualidad, son muy utilizados los sistemas de posicionamiento (GPS), cuyo objetivo es establecer la ubicación exacta de un objeto o persona sobre el globo terráqueo, pues bien, esta posición se puede representar a través de coordenadas esféricas.

[pic 7]

En el presente documento, se presenta un resumen de las principales ecuaciones de conversión del sistema cartesiano al cilíndrico y viceversa. Asimismo, se presentan algunos ejercicios resueltos que permitirá que el estudiante adquiera mayor acercamiento a este tipo de sistemas coordenados, los cuales se utilizaran en el transcurso de todo el curso.

Coordenadas Cilíndricas

El Sistema de coordenadas cilíndricas, para un punto P en el espacio tridimensional está representado por [pic 8], donde [pic 9] y [pic 10] son las coordenadas polares de la proyección del punto P sobre el plano [pic 11] y [pic 12]es la distancia dirigida desde el plano [pic 13] al punto P (Ver figura 1).[pic 14]

[pic 15]

Nota: En la formula [pic 18], si [pic 19] implica que [pic 20] 0 [pic 21]

Coordenadas esféricas

En la figura 2 se presentan, las coordenadas esféricas [pic 22] de un punto P en el espacio, donde [pic 23] es la distancia desde el origen al punto P, [pic 24] es el mismo ángulo como en coordenadas cilíndricas, y [pic 25] es el ángulo entre el eje [pic 26]positivo y el segmento [pic 27]. Note que, [pic 28][pic 29]

[pic 30]

Nota: En la formula [pic 37], si [pic 38] implica que [pic 39]

Ejercicios resueltos

1. Transforme a coordenadas rectangulares las ecuaciones dadas y luego identifique las superficies.

1. [pic 40] (En coordinates esféricas)
2. [pic 41](En coordinates cilíndricas)

Solución:

1. [pic 42]  [pic 43][pic 44]     [pic 45]

          [pic 46]         Paraboloide circular

1. [pic 47]   [pic 48] [pic 49]

[pic 50]        Hiperboloide de dos hojas

1. Sean las superficies[pic 51] , [pic 52] 

1. Escriba las ecuaciones de ambas superficies en coordenadas cilíndricas.
2. Escriba las ecuaciones de ambas superficies en coordenadas esféricas.

Solución:

1. [pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56][pic 57]            [pic 58]

1. [pic 59]

[pic 60][pic 61]

[pic 62]            [pic 63]

1. Sea [pic 64] la región interior a la superficie[pic 65] , exterior a [pic 66] y encima de [pic 67] . Escriba las ecuaciones de ambas superficies en coordenadas esféricas y cilíndricas, luego dibuje y describa [pic 68] en coordenadas esféricas y en coordenadas cilíndricas.

Solución

Se dibuja cada superficie y la región que corresponde según el enunciado:

[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

En coordenadas cilíndricas las ecuaciones de las superficies son:

...