Coordenadas Polares Cilíndricas Y Esféricas; Formulas De Transformación Entre Los Sistemas De Coordenadas Cartesianas Polares Cilíndricas Y Esfericas

Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares es importante debido a que ciertas curvas tienen ecuaciones más simples en coordenadas polares. Además, las 3 cónicas (parábolas, elipse e hipérbola) pueden representarse mediante una ecuación.

Las coordenadas cartesianas son números, la abscisa y la ordenada, que representan la distancia dirigida a partir de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo y a un rayo fijo (o semi recta). El punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa mediante la letra O. el rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se prolonga indefinidamente hacia la derecha.

Sea P cualquier punto del plano diferente de O, sea θ la medida en radianes del angulo dirigido AOP, positivo cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su lado final el rayo OP. Si r es la distancia no dirigida de O a P (esto es, r = OP ), un conjunto de coordenadas polares de P está dado por r y θ, y se denotan estas coordenadas como (r, θ).

Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.

1. Definir las coordenadas cilíndricas.

Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones.

2. Representar gráficamente las coordenadas cilíndricas.

L a representación de coordenadas cilíndricas de un punto (r, θ, z), donde r y θ son las coordenadas polares de la proyección de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.

3. Escribir las formulas para transformar las coordenadas rectangulares a cilíndricas y de cilíndricas a rectangulares y hacer un ejemplo de cada uno.

x = rCos θ, y = rSen θ, z = z.

r2 = x2 + y2, tan θ = x/y, z = z.

Ejemplo 1.

Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie:

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