Coordenadas Polares

Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas.

1.1 Sistemas de Coordenadas Polares

Por medio de un sistema de coordenadas en un plano, es posible localizar cualquier punto de un plano. En el sistema rectangular esto se efectúa refiriendo el punto a dos rectas fijas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas (Art. 4). En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija ya un punto fijo de esta recta. La recta fija se llama eje polar; el punto fijo se llama polo. Sea (figura 109) la recta horizontal OA el eje polar y el punto O el polo. Sea P un punto cualquiera en el plano coordenado. Tracemos el segmento OP y designemos su longitud por r. Llamemos θ al ángulo AOP. Evidentemente, la posición del punto P con relación al eje polar y al polo es determinada cuando se conocen r y θ. Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P; en particular, r se llama radio vector y θ ángulo polar, ángulo vectorial o argumento de P. las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un paréntesis, escribiéndose primero el radio vector. Así, las coordenadas de P se describen (r,θ). La línea recta que pasa por el pelo y es perpendicular al eje polar se llama el eje a 90°.

El ángulo polar θ se mide como en Trigonometría considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativo según que el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los convenios hechos en Trigonometría, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otros autores en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los valores reales. Nosotros seguiremos este último convenio. Según esto, si un punto tiene un radio vector negativo, se mide primero el ángulo polar de la manera ordinaria, y después se toma el radio vector en la prolongación del lado final. Así, un punto P’, de coordenadas (-r,θ), se localiza como se indica en la figura 109.

Es evidente que un par de coordenadas polares (r,θ) determina uno y solamente y un punto en el plano coordenado. El recíproco, en cambio, no es verdadero, porque un punto P determinado por las coordenadas (r,θ) está también determinada por cualquiera de los pares de coordenadas representadas por (r,θ+2πn), en donde π está dado en radianes y n es un entero impar cualquiera. Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par de números reales, esta correspondencia no es única en el sistema polar, porque un punto puede estar representado por uno cualquiera de un número infinito de parees de coordenadas polares. Es esta carencia de reciprocidad única en el sistema polar ala que nos conduce, en algunos casos, a resultados que difieren de los obtenidos en el sistema rectangular.

Para mayor parte de nuestros propósitos, un par de coordenadas polares es suficiente para cualquier punto en el plano. Como nuestra capacidad de selección en este respecto es ilimitada, convendremos, a menos que se especifique lo contrario, en tomar el radio vector r de un punto particular como positivo y su ángulo polar θ comprendido entre cero y el ángulo positivo más pequeño menor que 360°, de manera que la variación de los valores de θ está dada por 0°≤θ<360°.

A tal par lo llamaremos par principal de coordenadas polares del punto.

El ángulo polar puede expresarse en grados o radianes, pero el lector debe observar que los ángulos expresados en radianes vienen dados por números abstractos. Así, un ángulo polar de π/2 significa π/2 radianes, o sea, 90°; el ángulos polar 2 significa 2 radianes, que equivalen a 114° 35,5' (aproximadamente).

El trazo de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usando papel coordenado polar, que consiste en una serie de circunferencias concéntricas y rectas concurrentes. Las circunferencias

tienen su centro común en el polo, y sus radios son múltiplos enteros del radio más pequeño tomado como unidad de medida. Todas las rectas pasan por el polo, y los ángulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales. Un ejemplo de este papel está representado en la figura 110 en donde se han trazado los puntos

P_1 (4,π/6), P_2(6,2), P_3(-7,75°), P_3(5,7π/4).

Las coordenadas del polo O pueden representarse por (O,θ), en donde θ es un ángulo cualquiera.

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa.

Las coordenadas rectangulares (x,y) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, x y y. Por tanto, la ecuación de cualquier lugar geométrico en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano, contiene una o ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es apropiado llamar a una ecuación de esta clase la ecuación rectangular del lugar geométrico.

Las coordenadas polares (r,θ) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, r y θ, de manera que la ecuación de cualquier lugar geométrico en el plano coordenado polar contiene una o ambas variables, peor no otras. Tal ecuación se llama de acuerdo con eso, la ecuación polar del lugar geométrico. Así, la ecuación θ=π/4 y r=4 cos⁡θ son las ecuaciones polares de dos lugares geométricos planos.

Para un lugar geométrico determinado, conviene, frecuentemente, saber transformar la ecuación polar en la ecuación rectangular, y recíprocamente. Para efectuar tal transformación debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto del lugar geométrico. Se obtienen relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular, tal como se indica en la figura 111. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x,y) y por coordenadas polares (r,θ), entonces de la figura 111, se deducen inmediatamente las relaciones

x=r cos⁡θ, (1)

y=r sen θ, (2)

x^2+y^2=r^2, (3)

θ=arc tg y/x, (4)

r= ±y/√(x^2+y^2 ), (5)

sen θ= ± y/√(x^2+y^2 ) (6)

cos⁡〖θ=±x/√(x^2+y^2 )〗 (7)

Consideremos primero el paso de una ecuación rectangular a su forma polar. La ecuación dada contiende como máximo las dos variables x y y. Por tanto, si sustituimos la x y la y por sus valores dados por las ecuaciones (1) y (2), respectivamente,

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