Graficas Especiales De Coordenadas Polares

Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas que define la posición de un punto en función de los ángulos directores y de la distancia al origen de referencia.

En la figura, se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia, punto O y la línea OL sobre la que se miden los ángulos, en las referencias a los puntos se indicando la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º), indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL.

Este sistema se emplea en los casos en los que el conocimiento de los ángulos directores sea más práctico que las coordenadas cartesianas. Normalmente, eso sucede cuando la figura o curva a estudiar está definida más claramente por los ángulos sobre los ejes y la distancia al centro de coordenadas, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc.

En el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas, dado que: el centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen un punto definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia.

Esta circunstancia debe tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas.

Coordenadas polares en el plano

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que las coordenadas polares son:

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Coordenadas polares en el espacio

Dado el espacio tridimensional, con centro de coordenadas O y ejes xyz, se puede definir un sistema de coordenadas polares, de modo que un punto del espacio M está definido por dos ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, donde el primer ángulo es el que forma la proyección del vector r sobre el plano xy y el eje x, y el segundo ángulo es el que forma el vector r con el plano xy.

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto M en el espacio por sus coordenadas rectangulares (x,y,z), se tiene que:

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en el espacio por sus ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, se tiene:

Ejemplos

En el plano

Una circunferencia se define en coordenadas polares:

Una espiral se define, un caso particular es cuando el radio es proporcional al ángulo:

donde k es un valor real, da lugar a la Espiral de Arquímedes

Otros ejemplos:

Espiral logarítmica

Espiral de Fermat

En el espacio

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función como, por ejemplo:

Hélice (geometría)

Coordenadas polares

El sistema mas utilizado para localizar un punto suele ser el de las coordenadas cartesianas, pero hay otro muy utilizado también: el de coordenadas polares. En este método se utiliza la distancia del punto al origen, medido sobre el segmento que los une, y el ángulo que forma dicho segmento con uno de los ejes. Véase el dibujo.

Cambio de coordenadas polares a cartesianas

Si (r, a) son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán: x = r cos a , y = r sen a .

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS

Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRA

Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

CARDIOIDES

A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:

Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:

LIMACONES O CARACOLES

Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos

Ahora veamos un ejemplo

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