COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia, ampliamente utilizados en física y geometría analítica.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

AREAS

Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r=f(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por

A=1/2 ∫_a^b▒〖〖f(θ)〗^2.dθ〗

LONGUITUD DE ARCO

De la curva r=f(θ) desde θ1 hasta θ2 viene dado por:

L=∫_θ1^θ2▒√((〖f(θ))〗^2+(〖f'(θ))〗^2 ) dθ

AREA DE LA SUPERFICIE

Generada en la rotación del arco r=f(θ) desde θ1 hasta θ2 alrededor de:

El eje polar:

S=2π∫_θ1^θ2▒〖f(θ).Sen〗 θ.dθ

El eje transverso

S=2π∫_θ1^θ2▒〖f(θ).Cos〗 θ.dθ

VOLUMEN

Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares

Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región está definida como

el diferencial de área se definiría como

y la integral quedaría como

Teorema

Si

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