COORDENADAS POLARES

INTRODUCCION

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, tendríamos otra forma de definir un punto.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r, θ), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes.

Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.

Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje π/2 o eje a 90°”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

MARCO TEORICO

La grafica de una ecuación en coordenadas polares es el conjunto ordenado de los puntos (r, θ), cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación dada.

Para el trazado de la gráfica de curvas en coordenadas polares, se deben realizar los pasos siguientes:

Determinación de las intersecciones de la curva con el eje polar, y con el eje a 90°.

Intersección con el eje polar.

Determinar: r, para θ= 0±π, 2π,…, nπ n= entero cualquiera

Intersección con el eje a 90°.

Determinar: r, para θ = n/2 π, n= número impar cualquiera.

Si r= 0, la gráfica de la curva pasa por el polo.

Determinación de la simetría de la curva con respecto al eje polar, al eje a 90° y al polo.

Simetría con respecto al eje polar.

Sustituir θ por –θ, se obtiene la misma ecuación.

Simetría con respecto al eje a 90°.

Sustituir θ por π-θ, se obtiene la misma ecuación.

Simetría con respecto al polo.

Sustituir r por –r, se obtiene la misma ecuación.

Determinación de la extensión de la curva (lugar geométrico).

Primeramente poner: r= f(θ)

Si r es finito para todos los valores de θ, la curva es cerrada.

Si r se vuelve infinita para ciertos valores de θ, la gráfica no es una curva cerrada (curva abierta).

Para los valores de θ que hacen a r compleja, no existe la curva.

Si la gráfica es una curva cerrada, frecuentemente es útil determinar los valores máximo y mínimo de r.

Calculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

Para tal efecto, se le asigna un valor particular a θ, obteniéndose el valor o valores correspondientes de r.

Trazado de gráfica.

Se trazan los puntos del lugar geométrico a partir de los valores de las coordenas obtenidas en el paso 4.

Ejercicios:

r= 2(1+sen θ)

Determinación de las intersecciones de la curva con el eje polar, y el eje a 90°.

Intersección con el eje polar.

Haciendo θ= 0 » r= 2(1+sen 0)= 2(1)=2 ; intersección (2, 0)

Haciendo θ= π » r= 2(1+sen π)= 2(1)=2 ; intersección (2, π)

Con el eje a 90°.

Haciendo θ= π/2 » r= 2(1+sen π/2)= 2(2)= 4; intersección (4, π/2)

Haciendo θ= 3π/2 » r= 2(1+sen 3π/2)= 2(1-1)= 0; intersección (0, 3π/2)

Determinación de la simetría de la curva, con respecto al eje polar, al eje a 90°.

Con respecto al eje polar

Sustituyendo θ por – θ

.r= 2(1+sen (-θ)) ; r=2(1-sen θ)= no es simétrica respecto al eje polar.

Con respecto al eje a 90°.

Sustituir θ por π- θ

.r= 2(1+sen(π- θ)) = 2 (1+ (sen π cos θ – cos π sen θ)

.r=2 (1+ ((0*cos θ) – (-1sen θ))

.r=2 (1+sen θ) ; si es simétrica respecto al eje a 90°.

Con respecto al polo.

Sustituir r por –r

-r=2(1+sen θ)

.r= -2(1+sen θ) ; no es simétrica con respecto al polo.

Determinación de la extensión de la curva.

Θ 0 - π/2 π/2 - π π - 3π/2 3π/2 - 2π

r 2 - 4 4 – 2 2 - 0 0 - 2

R toma calores finitos para todos los valores de θ, por tanto la curva es cerrada. Valor mínimo r= 0, valor máximo r=4

Calculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos preparando una tabla de valores de θ y r. dándoles valores a θ de 0° a 360°.

Θ° r

0 2

15 2.51

30 3

45 3.41

60 3.73

75 3.93

90 4

105 3.93

120 3.73

135 3.41

150 3

165 2.51

180 2

195 1.48

210 1

225 0.58

240 0.26

255 0.068

270 0

285 0.068

300 0.26

315 0.58

330 1

345 1.48

360 2

r2= 4 cos 2θ ; r= 2 √(cos⁡2θ )

Determinación de las intersecciones de la curva con el eje polar, y el eje a 90°.

Intersección con el eje polar.

Haciendo θ= 0 » r= 2 √(cos⁡0 )= 2(1)=2 ; intersección (2, 0)

Haciendo θ= π » r= 2 √(cos⁡2π )=2(1)=2 ; intersección (2, π)

Con el eje a 90°.

Haciendo θ= π/2 » r=2 √(cos⁡〖2 π/2〗 ) = 2J; intersección (2J, π/2)

Haciendo θ= 3π/2 » r=2 √(cos⁡〖2 3π/2〗 ) = 2J; intersección (2J, 3π/2)

Determinación de la simetría de la curva, con respecto al eje polar, al eje a 90°.

Con respecto al eje polar

Sustituyendo θ por – θ

.r= 2 √(cos⁡〖(-2θ)〗 ); r=2 √(cos⁡2θ )= si es simétrica respecto al eje polar.

Con respecto al eje

...