Sistema de Coordenadas. GRÁFICAS DE ECUACIONES

SISTEMA DE COORDENADAS

Sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza éstas para especificar la posición de un punto en la superficie de la Tierra.

 Las coordenadas cartesianas son unas de las coordenadas más usadas. En dos dimensiones, están formadas por un par de rectas en una superficie plana, o plano, que se cortan en ángulo recto. Cada una de las rectas se denomina eje y el punto de intersección de los ejes se llama origen. Los ejes se dibujan habitualmente como la horizontal y la vertical, y normalmente se les denomina x e y respectivamente. En coordenadas cartesianas, un punto del plano cuyas coordenadas son (2,3) está situado dos unidades hacia la derecha del eje y y tres unidades por encima del eje x.

En el Plano Cartesiano el eje horizontal se conoce con  el nombre de eje de las abscisas (eje x) y el eje vertical eje de las ordenadas (eje y), sobre ellos se ubica cualquier punto en el plano. Para ubicar a un punto en el plano se ubica en el eje x el valor de la abscisa y luego por él se levanta una perpendicular  vertical hasta llegar al valor de las ordenadas.

Por otra parte, el plano cartesiano es base fundamental en el logro de los conceptos de ubicación  como son los puntos cardinales norte, sur, este y oeste.

GRÁFICAS DE ECUACIONES EN EL PLANO NUMÉRICO

La representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas,    ax + by = c, se representa mediante una recta. La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas. Si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son los puntos de la recta.

Ejemplo: Dada la siguiente ecuación, realice su gráfico respectivo en el plano numérico.

-2x+y-2=0

Para graficar esta ecuación en el plano numérico se debe  establecer por lo menos dos puntos de la ecuación (en este caso).

Para x=0;         -2(0)+y-2=0;          y-2=0;                y=2

Para  y=0;        -2x+0-2=0;                -2x+2=0;        x=-2/-2;        x=1

Entonces la ecuación pasa por los puntos: (0,2) y (1,0). Estos puntos se ubican en el plano numérico y establecen la gráfica de la ecuación –2x+y-2=0.

Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones.

[pic 4]

Se representa del siguiente modo:

[pic 5]

El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos es el recorrido más corto que existe entre un punto A y un punto B, establecido por el segmento que los une. La distancia siempre establecer valores positivos.

Viene expresada por la siguiente fórmula:

d=[pic 6] de donde x1,x2,y1,y2 son las coordenadas de los puntos.

Ejemplo. Hallar la distancia que existe entre los puntos A(2,4) y B(6,7).

Se aplica la fórmula sustituyendo en ella los valores de las coordenadas de los puntos A y B.

d=[pic 7]=[pic 8]=[pic 9]

La distancia desde el punto A hasta el punto B es 5.

Ejemplo:

Halle gráficamente la distancia que existe entre los puntos C(1,3) y D(5,3).

Para resolver este ejercicio primero realizamos la gráfica para determinar la posición de los puntos.

Para hallar la distancia gráficamente se procede a contar los espacios que existe entre los valores de x, entonces se concluye que la distancia d(C,D) es igual a 4.

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