Criterio De La Segunda Derivada

5.2.5. Máximos y Mínimos (Criterio de la Segunda Derivada).

Criterio de la Segunda Derivada).

A partir de las propiedades de los extremos locales estamos en condiciones de establecer para diversos tipos de funciones, cuando un extremo relativo corresponda a un máximo y cuando a un mínimo. De hecho, a partir de la resolución de la ecuación f '(x) = 0, es posible determinar su ubicación.

Además, como se observa en la Figura 55, el máximo relativo, se encuentra en algún punto de la curva en donde ésta es convexa. Por el contrario, para el punto en donde se localiza el mínimo relativo, la curva es cóncava. De acuerdo a los criterios y propiedades de concavidad y puntos de inflexión, se establece la siguiente propiedad.

Definición:

y

f ''(c) < 0

f '(c) = 0

Figura 55

d

c

x

f ''(d) > 0

f '(d) = 0

Cuando la función permite un cálculo rápido de sus derivadas sucesivas, el teorema resulta ser el mejor camino para la determinación de los extremos relativos.

Ejemplo 1.- Calcular los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada de la función

f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 5.

a) Calcular los números críticos.

f '(x) = 0

f '(x) = 3x2 – 12 x + 9

3x2 – 12x + 9 = 0

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 x – 1 = 0

x = 3 x = 1

b) Calculo de la segunda derivada.

f '' (x) = 6x – 12

c) Sustitución de los números críticos.

Si x = 1

f ''(x) = 6 (1) – 12 = 6 – 12 = - 6 < 0 (máximo).

Si x = 3

f ''(x) = 6 (3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0 (mínimo).

d) Calculo de los valores relativos.

Si x = 1

f(x) = (1)3 – 6 (1)2 + 9 (1) + 5

= 1 – 6 + 9 + 5 = 9

Máximo = 9 para x = 1

Si x = 3

f(x) = (3)3 – 6 (3)2 + 9 (3) + 5

= 27 – 54 + 27 + 5 = 5

Mínimo = 5 para x = 3

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