Criterio De La Segunda Derivada

Actividad 5. Criterio de la segunda derivada

Criterio de la segunda derivada

Otra de las aplicaciones de la segunda derivada es para clasificar los puntos críticos donde la primera derivada se anula. La idea es muy gráfica: si c es un punto donde f (c)=0 y f es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c entonces f (c) es un máximo relativo, pero en cambio si es cóncava hacia arriba entonces se alcanza un mínimo relativo en c.

Teorema:

Sea f una función tal que f´(c)= 0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c

1. Si f”(c) > 0 entonces f(c) es un mínimo relativo.

2. Si f”(c) < 0, entonces f(c) es un máximo relativo.

Gráficamente:

De lo anterior podemos observar que la relación entre concavidad y segunda derivada nos permite visualizar el siguiente criterio usado para clasificar puntos críticos.

Otras consideraciones:

1.- El criterio no es concluyente en el caso en que f ‘(c) =0 y f”(c)=0 . Se deberá entonces usar el criterio de la primera derivada.

2.- El criterio no puede usarse en el caso que la segunda derivada no exista en c.

3.- Una de las bondades de este criterio es que permite clasificar los puntos críticos con sólo evaluar la función segunda derivada en los números críticos, a diferencia del criterio de la primera derivada que se debía evaluar la primera derivada a la izquierda y derecha del punto crítico y entre los puntos críticos vecinos.

Procedimiento

1) Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores críticos de f

2) Clasificamos los puntos críticos, para ello se intenta primero el criterio de la segunda derivada.

Encuentra los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) f(x) = 8x4 + 2x3 - 5x2 + 5x-3

f’ (x) = d/dx(8x4 + 2x3 - 5x2 + 5x-3=

f’ (x)= 32x3 + 6x2 - 10x + 5

Los puntos críticos de f’(x) es cuando f’(x) = 0

32x3 + 6x2 - 10x + 5 = 0

32x3 + 6x2 - 10x = 5

x(32x2 + 6x – 10) = 5

x ~-0.810704

Calculamos la segunda derivada de la función y evaluamos en ella el punto x = -0.810704

f “(x) = f ‘(x) =32x3 + 6x2 - 10x + 5

f “(x) = 96x3 + 12x - 10

f “(-0.810704) = 96(-0.810704)3 + 12(-0.810704) - 10

f “(-0.810704) = -70.88

lo que significa que por ser constante y negativa

f “(-0.810704) < 0

Entonces f “(-0.810704) es un máximo relativo

b) f(x) = √x2 + 2

f’(x)= d/dx(Öx2 + 2)

f’(x)= d/dx(Öx2 + 2) = x/(Öx2 + 2)

Los puntos críticos de f’(x) es cuando f’(x) = 0

x/(Öx2 + 2) = 0

x = 0

Calculamos la segunda derivada de la función y evaluamos en ella el punto x = 0

f’(x)=

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