Cuadratura De Gauss

La aproximación numérica de la integral definida se conoce como integración o cuadratura numérica. El segundo nombre procede de la antigüedad en relación con el cálculo de lasáreas de las figuras curvas, cuyo ejemplo más notorio es el problema de la cuadratura delcírculo (encontrar el cuadrado de área coincidente con la de un círculo dado). En este temanos ocuparemos del cálculo aproximado del área bajo la curva f (x) definida sobre un intervalo[a,b] de la recta real, es decir:

I(f) =∫_a^b▒f(x)dx

La integración numérica es una herramienta de gran utilidad para obtener valores

aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente, ya sea porque el integrando no tiene primitiva expresable analíticamente, o bien porque dicho integrando no se conoce en forma analítica sino en forma discreta (tabulada)-porejemplo, datos procedentesde un experimento.

Dado que una integral es el límite de una suma infinita, es natural que su aproximaciónconsista en una suma finita de muestras, ponderadas con pesos wi, del integrando f (xi). Dichasuma se denomina fórmula de cuadratura.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO.

Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.

La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2,… Xn en el intervalo [a, b] y los coeficientes C1, C2,. . . ,Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación:

I(f) =∫_a^b▒f(x)dx≈∑_(i=1)^n▒Cif(xi)

Para resolver cualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los límites de integración a [-1, 1] mediante la siguiente fórmula:

z=(2x-(a+b))/2a

Posteriormente tenemos que efectuar un cambio de variable a la función para que quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:

f(x)=f((b-a)Z/2+((b+a))/2)

Luego tenemos que cambiar nuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros términos estén en función de “Z”.

Para tal caso queda la siguiente función:

Este caso fue resuelto con dos puntos pero el método de Gauss puede extenderse a 3, 4 ó más puntos, el algoritmo general ya en función de z tiene la forma de:

Así también puede expresarse de la siguiente forma:

Donde los valores de wi y zise extraen de la siguiente tabla:

No. de Puntos Coeficientes wi Raíces zi

2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.5773502

3 w1= w3 = 0.55555

w2 = 0.88888 -z1 = z3 = 0.7745966

z2 = 0.0

4 w1 = w4 = 0.3478548451

w2 = w3 = 0.6521451549 -z1 = z4 = 0.861136311

-z2 = z3 = 0.33998104

5 w1 = w5 = 0.2369268850

w2 = w4 = 0.4786286705

w3 = 0.56888888 -z1 = z5 = 0.90617984

z3 = 0.0

-z2 = z4 = 0.53846931

6 w1 = w6 = 0.1713244924

w2 = w5 = 0.3607615730

w3 = w4 = 0.4679139346 -z1=z6=0.9324695142

-z2=z5=0.6612093865

-z3=z4=0.2386191861

Por último determinamos el número de puntos en que queremos dividir nuestro intervalo, mientras más puntos tomemos mejor será nuestra aproximación.

El método de cuadratura de Gauss está diseñado para que cuando se use dos puntos obtener exactitud en polinomios cúbicos, con tres puntos en polinomios de cuarto grado y así sucesivamente.

Se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entre los límites a y b. La parte (a) de la figura muestra como se integraría usando un trapezoide: uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un segmento de recta P1(x) Esto forma un trapezoide de base h = (b-a) cuya área es:

T= h / 2 [f(a) + f(b)],

Y que podía escribirse como

T = W1 f(a) + W2 f(b)

Donde W1 = W2 = h / 2

Por otro lado en la aplicación de la cuadratura de Gauss en lugar de tomar los dos puntos A y B en los extremos del intervalo se escogen dos puntos interiores C y D

METODO METODO

TRAPEZOIDE DE GAUSS CON DOS PUNTOS

Gauss se propuso desarrollar una formula del tipo.

A = W1 F(Z1) + W2 F(Z2)

Ya que esto simplificaría relativamente el cálculo del área. El problema planteado de esta manera consiste en encontrar los valores de Z1, Z2 W1 y W2 Entonces hay cuarto parámetros por determinar y por tanto cuatro condiciones que se pueden imponer.

Si los límites son distintos se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y 1

En general si se desea calcular dx se cambia el intervalo de integración con la siguiente formula.

Z= 2x – (a + b) / b – a

Ya que si x = a, Z = - 1 y si X = b, Z = 1

El integrando f(x) en términos de la nueva variable queda

F(x) = F ( b – a / 2 (z)

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