Cuadros Latinos

INTRODUCCIÒN

Un cuadrado latino de lado n contiene en cada fila una y una sola vez los números del 1 al n, de forma que en ningún caso se repite el mismo número en una columna. Por ejemplo, estos dos:

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1 3 4 5 1 2

3 4 5 1 2 5 1 2 3 4

4 5 1 2 3 2 3 4 5 1

5 1 2 3 4 4 5 1 2 3

Se llama además cuadrado latino diagonal aquél en que tampoco las diagonales registran repeticiones, como en el segundo.

Un cuadrado grecolatino es más exigente. Está formado por parejas de objetos o números de forma que la formación constituida por los primeros elementos de cada par formen un cuadrado latino, y también la formada por los segundos elementos.

00 47 18 76 29 93 85 34 61 52

86 11 57 28 70 39 94 45 02 63

95 80 22 67 38 71 49 56 13 04

59 96 81 33 07 48 72 60 24 15

73 69 90 82 44 17 58 01 35 26

68 74 09 91 83 55 27 12 46 30

37 08 75 19 92 84 66 23 50 41

14 25 36 40 51 62 03 77 88 99

21 32 43 54 65 06 10 89 97 78

42 53 64 05 16 20 31 98 79 87

Los cuadrados grecolatinos están relacionados con una conjetura de Euler, que resultó fallida, lo que es muy raro en el ilustre matemático. Observando que no existen cuadrados de ese tipo de segundo ni de sexto orden, Euler extendió esa imposibilidad a los de orden 4n + 2. Sin embargo, por vía computacional se han hallado cuadrados grecolatinos de grado 10 (como el anterior), 14, etc.

OBJETIVO

Estudiar, comprender y aplicar los conceptos básicos de cuadros latinos y grecolatinos.

RESUMEN

Los cuadrados latinos fueron descubiertos o inventados por el gran matemático Leonhard Euler en 1783. Los hay de todos los tamaños; como ejercicio podés tratar de acomodar los números del 1 al 10 en un tablero de diez casillas de lado, para que, como antes, no se repitan números ni en las filas ni en las columnas.

Aunque va contra nuestros principios, tenemos que admitir que los cuadrados latinos pueden ser útiles. Supongamos que hay que evaluar la calidad de cuatro marcas de neumáticos. Colocar un neumático de cada marca en las cuatro ruedas de un coche no es fiable: puede haber posiciones que reciban más desgaste que otras. Un experimento mejor consiste en usar los cuatro neumáticos durante cuatro semanas, y una vez por semana cambiarlos de posición de acuerdo al diseño de un cuadro latino de cuatro por cuatro.

Una rápida búsqueda en Google hace aparecer muchos experimentos donde se utilizan cuadrados latinos como el modo más eficiente de controlar las variables bajo análisis. Algunos de estos experimentos tienen nombres tan pintorescos como Hojas de Erythrina poeppigiana como suplemento proteico para cabras lactantes o Parámetros de fermentación ruminal de animales en pasturas mezcladas Gramínea-Leguminosa para el Trópico Húmedo de Costa Rica.

En las últimas semanas se puso de moda un pequeño juego de deducción llamado Sudoku que parte de la idea de los cuadrados latinos.

Volvamos a nuestro mazo mínimo formado por las cuatro primeras cartas de cada palo. Hagámoslo más difícil. Con los dieciséis naipes armá un cuadrado de cuatro por cuatro para que ni en las líneas ni en las columnas se repitan ni números ni palos.

El diseño que resuelve el problema se llama cuadrado greco-latino. ¿Por qué ese nombre? Cuando Euler presentó el problema, en lugar de números usó letras latinas (A, B, C...) y en lugar de palos de la baraja usó letras griegas (alfa, beta, gamma...).

EJERCICIOS

1. Se estudia el efecto de cuatro ingredientes diferentes sobre el tiempo de retardo de un proceso bioquímico. Para lo cual se toman cuatro cantinas con leche proveniente de cuatro sitios diferentes, recolectadas en cuatro días diferentes. Se les agregan los ingredientes independientemente y se determina el tiempo de cambio de una de las propiedades características de la leche, utilizando medios electrónicos. Los datos obtenidos son:

Tabla. 1. Retardo en el cambio de la(s) propiedades de la leche

Procedencia Días

1 2 3 4

1 C=54 B = 50 A=47 B=50

2 B=57 C=55 D=61 A=48

3 A=48 D=56 C=54 D=56

4 D=59 A=42 B=50 C=56

1) ¿Que tipo de diseño experimental siguieron los proyectantes?

Cuadro Latino

2). Calcule el ANAVA y pruebe la hipótesis correspondiente. Utilice = 0.05.

Número de tratamientos: 4

Procedencia Observaciones: Día

1 2 3 4 TOTAL

1 C=54 B = 50 A=47 B=50 Y.1.= 201

2 B=57 C=55 D=61 A=48 Y.2.= 221

3 A=48 D=56 C=54 D=56 Y.3.= 214

4 D=59 A=42 B=50 C=56 Y.4.= 207

TOTAL Y..1= 218 Y..2= 203 Y..3= 212 Y..4= 210 Y...= 843

TRATAMIENTOS SUMATORIA

A = Y1.. 185

B = Y2.. 207

C = Y3.. 219

D = Y4.. 232

Procedencia Total Promedio

1 201 50.25

2 221 55.25

3 214 53.50

4 207 51.75

Día Total Promedio

1 218 54.50

2 203 50.75

3 212 53.00

4 210 52.50

Tratamiento Total Promedio

1 185 46.25

2 207 51.75

3 219 54.75

4 232 58.00

ANÁLISIS DE VARIANZA

Suma de cuadrados dia

Suma de cuadrados de la procedencia

Suma de Cuadrados de los tratamientos

Suma de cuadrados del error experimental.

SC(E. E.) = SC(Total) - SC(Trat ) - SC(dia)) – SC(procedencia)

SC(E. E.) = 381,4375-299,1875-56,1875-28,6875 = - 2,625

ANALISIS DE VARIANZA

F. de V G. de L. Suma de Cuadrados C. M. F

Procedencia 3 56,1875 18,7292 -42,8095

Día 3 28,6875 9,5625 -21,8571

Tratamientos 3 299,1875 99,7292 -227,9524

Error 6 - 2,625 - 0,4375

Total 15 381,4375

3) Se podrá aplicar la prueba de Tukey?. Justifique su respuesta.

Dado que mediante el análisis de varianza se puede contrastar la hipótesis de si existe o no evidencia para la diferencia de las medias de los tratamientos, pero no se puede verificar entre cuales tratamientos se darían esas diferencias entonces podríamos aplicar la prueba de Tukey para encontrar los tratamientos que generan dichas diferencias.

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