Curso De Desigualdades

OBJETIVO:

Emplear las gráficas como una alternativa para la resolución y comprensión de las desigualdades de los tipos algebraico ó trascendente.

CONTENIDO:

UNIDAD I

1. Antecedentes propiedades y definición de las desigualdades.

2. Clasificación de las desigualdades.

3. Métodos de resolución para desigualdades algebraicas y trascendentes.

4. Gráficas de ecuaciones (lineal, cuadrática, raíz par, raíz impar, valor absoluto, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales)

UNIDAD II

1. Desigualdades lineales. Solución gráfica.

2. Desigualdades con valor absoluto. Solución gráfica.

UNIDAD III

1. Desigualdades de orden superior. Solución gráfica.

UNIDAD IV

2. Desigualdades de funciones trascendentes. Solución gráfica.

MAPA CONCEPTUAL PARA

LAS DESIGUALDADES

En este mapa se muestran la ubicación de las desigualdades en cuanto a lo que los alumnos requieren como conocimiento previo, además de establecer la clasificación en dos grandes tipos y los tipos de resolución que se emplean. Para cada tipo de desigualdad se hace un análisis numérico en primera instancia, donde se indica la forma en que se hace uso de alguna estrategia para llegar a la solución, para posteriormente mostrar la validación del resultado haciendo uso de la gráfica que corresponde.

Los softwares empleados son Scientific Work Place, Graphmatica, Graph y Winplot, donde los tres últimos se pueden descargar directamente de la Internet, mientras que el primero es un programa del que se dispone en el Departamento de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico del Istmo.

UNIDAD I

1.- Antecedentes, propiedades y definición de las desigualdades.

ANTECEDENTES

La desigualdad se establece entre dos conjuntos que no tienen el mismo número ó tipo de elementos, y también existe entre dos números cardinales diferentes.

Ejemplos:

 Dados los conjuntos:

A = {a, e, i, o, u}, y B = {a, b, c, d}, se tiene que A ≠ B.

 Dados los números 4 y 5, se tiene: 5 > 4 ó 4 < 5

La desigualdad también se indica por los signos de notación de orden. Al igual que las ecuaciones en general, las desigualdades pueden constituirse por miembros, así se tiene por ejemplo primer miembro, segundo miembro, tercer miembro, etc. donde la numeración de los miembros es de izquierda a derecha.

PROPIEDADES

a) Los miembros de las desigualdades pueden permutar sus lugares, cambiando el sentido del orden. Ejemplos:

 Sí 8 > 5, entonces 5 < 8

 Sí -10 < - 6, entonces - 6 > -10

 Sí A > B, entonces B < A

 Sí A < B, entonces B > A

Esto señala que la desigualdad es una relación no simétrica.

b) Si una primera cantidad es mayor (ó menor) que una segunda cantidad, y esta es mayor (ó menor) que una tercera, entonces la primera es mayor (ó menor) que la tercera. Ejemplos:

 Sí 8 > 5 y 5 > 3, entonces 8 > 3

 Sí 10 < 25 y 25 < 30, entonces 10 < 30

 Si A < B y B < C, entonces A < C

 Si A > B y B > C, entonces A > C

La desigualdad es una relación que posee la propiedad transitiva.

c) Sí a los dos miembros de una desigualdad se les suma una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Ejemplos:

Para a > b se tiene

 a + c > b + c

 a – c > b – c

Por lo anterior se cumple que un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo, ya que esto equivale a sumar ó restar en ambos lados el mismo término.

d) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican ó dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Ejemplo:

Para a > b y siendo c una cantidad positiva:

ac > bc

a/c > b/c

Esto señala que se pueden suprimir denominadores, sin que varíe el signo de la desigualdad, ya que se multiplica por el mínimo común múltiplo a todos los miembros.

e) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican ó dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía. Ejemplo:

 Para a > b y siendo c una cantidad negativa:

- ac < - bc

- a/c < - b/c

Lo anterior obedece a que los miembros de la desigualdad se multiplican por -1.

f) Cuando se invierten los miembros, la desigualdad cambia de sentido en el orden. Ejemplo:

 Para a > b

1/a < 1/b

g) Si los miembros son positivos y se elevan a una misma potencia, el signo de la desigualdad no cambia. Ejemplo:

 Para a > b

h) Si los miembros ó uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el orden de la desigualdad no cambia. Ejemplo:

 Para - a > - b, entonces

 Para a > - b, entonces

i) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar. Ejemplos:

 Para 2 > - 6, se tiene que

 Para 8 > -3, se tiene que

 Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Ejemplo:

 Si a > b, entonces

DEFINICIÓN

Es una expresión matemática en la que aparecen dos ó más ecuaciones, con la característica que existe al menos una expresión de orden (<, >, ≥ ó ≤), la cual permite establecer de manera clara la solución al ejercicio planteado. Por ejemplo:

2x < 5

3x - 10 ≥ 3 - 2x

2.- Clasificación de las desigualdades.

Dado que en las desigualdades están presentes ecuaciones, la clasificación debe ser del mismo tipo, es decir que podemos encontrar:

Lineales:

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