Cálculo Ejercicios

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.) Transformación de una ecuación no lineal en una lineal usando un cambio de variable (ecuaciones de Bernoulli).

a) Demostrar que la ecuación no lineal

Puede transformarse en una ecuación lineal usando la sustitución u = y1-n.

b) Usar ese resultado para resolver la ecuación:

SOLUCIÓN:

a) La sustitución sugerida nos permite expresar:

Reemplazando ahora esto en la EDO original se tiene:

Y, finalmente, multiplicando todo por (1 - n):

(1)

Ésta es una ecuación lineal, que puede ser resuelta siguiendo el procedimiento habitual. Luego, revirtiendo el cambio de variables, se puede obtener la expresión para “y”.

b) En la ecuación dada, ,es una ec. Diferencial de Bernoulli ; para transformar esta ecuación en una ec. lineal es necesario multiplicar la ecuación por ; de ahí se obtiene lo siguiente:

, luego l sustitución que se hace es:

De esta manera, la ecuación puede escribirse, para este caso particular:

;

Luego se tiene que la ec. Diferencial es lineal y se puede resolver aplicando la siguiente fórmula ; es decir: ; reemplazando nos queda de la siguiente manera :

; Finalmente se reemplaza la sustitución inicial que se hizo y nos queda de la siguiente manera:

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