DEFINICIÓN DE DESCUENTO A INTERES COMPUESTO

DEFINICIÓN DE DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO.

Se puede definir el descuento racional a interés compuesto, como el que considera que: el valor “Actual” produce intereses que se van capitalizando, al final de cada periodo, hasta que el valor actual más su interés compuesto adquiere un valor igual al futuro o nominal del documento descontado. Por lo tanto, el descuento compuesto racional serán igual al interés compuesto del valor actual.

Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización.

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

• A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto.

• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del período anterior, al tanto de interés vigente en dicho período.

En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado.

El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera.

Al igual que ocurría en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial, según cuál sea el capital que se considera en el cómputo de los intereses que se generan en la operación:

• Descuento racional.

• Descuento comercial.

DESCUENTO RACIONAL

Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un período el capital al inicio de dicho período, utilizando el tipo de interés vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente:

Gráficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue:

Período n: Cn

Período n–1:

Cn-1 = Cn – In = Cn – Cn-1 x i

Cn-1 x (1 + i) = Cn

Cn

Cn-1 = -------------

(1 + i)

Período n–2:

Cn-2 = Cn-1 – In-1 = Cn-1 – Cn-2 x i

Cn-2 x (1 + i) = Cn-1

Cn-1 Cn

Cn-2 = ------------ = ------------

(1 + i)1 (1 + i)2

Período n–3:

Cn-3 = Cn-2 – In-2 = Cn-2 – Cn-3 x i

Cn-3 x (1 + i) = Cn-2

Cn-2 Cn

Cn-3 = ----------- = ----------

(1 + i)1 (1 + i)3

Período 0:

C0 = C1 – I1 = C1 – C0 x i

C0 x (1 + i) = C1

C1 Cn

C0 = ---------- = ------------

1 + i (1 + i)n

Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro. Se trata de la operación de capitalización compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el capital actual.

De otra forma, partiendo de la expresión fundamental de la capitalización compuesta, Cn = C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0):

Cn

C0 = ----------

(1 + i)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dr), o descuento propiamente dicho:

Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]

EJEMPLO 7

Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de interés del 5% anual compuesto?¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000

C0 = -------------- = 20.732,10 €

1,053

Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90 €

De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90 €

4.4. DESCUENTO COMERCIAL

En este caso se considera generador de los intereses de un período el capital al final de dicho período, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente:

Gráficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue:

Período n: Cn

Período n-1:

Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)

Período n-2:

Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2

Período n-3:

Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)3

Período 0:

C0 = Cn x (1 - d)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dc):

Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]

Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90 €

Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10 €

De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10 €

TANTOS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES

Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados serán diferentes según se realice por un procedimiento u otro.

Sería conveniente encontrar la relación que deben guardar los tantos de interés y los tantos de descuento para que el resultado de la anticipación fuera el mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se

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