Datos Agrupados

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1 Datos Agrupados

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Las características de los elementos de una población pueden ser de tipo cualitativo o de

tipo cuantitativo. En el primero caso se trata de cualidades que distinguen un elemento de

otro y lo ubican en clases independientes y separadas. Las propiedades de tipo cuantitativo

son aquellas que pueden medirse o contarse.

Ejercicio 1 Clasi…ca las siguientes variables de una población en cualitativas y cuantitativas.

Familia de un Ærbol Color favorito

Tipo de hojas MÆximo grosor de un tronco

Nœmero de hojas de un libro Peso

Estatura Promedio de goles

Sueldo mensual Estrato

Nœmero de hermanos Deporte favorito

Nombre Tiempo que tardo en hacr una tarea

Sexo

Una característica cuantitativa que toma datos

aislados de modo que no acepta valores

intermedios entre dos consecutivos, se llama

Cuantitativa Discreta. Si se trata de una característica

que puede tomar valores consecutivos, se dice que es una variable

Cuantitativa

Continua.

Las diferentes características de los elementos de una población pueden representarse de

diversas maneras: tablas, diagramas de barras o diagramas circulares.

1.1 Agrupación voluntaria

La representación de una variable continua puede hacerse mediante tablas, en donde la

variable se presenta

agrupada en clases o intervalos numØricos, por medio de diagramas de

barras unidas, llamadas histogramas o usando diagramas lineales.

Ejemplo 2 En la clase de educación física el profesor tomó la medida de la estatura de los

alumnos del grado octavo; Øl apuntó los datos aproximando en centímetros, así: si medía

entre 154.1 cm. y 154.4 cm. anotaba 154 cm.; pero si medía entre 154.5 cm. y 154.9 cm.

anotaba 155 cm. En una primera presentación el profesor agrupó los datos como se dan en

la siguiente tabla:

Estatura en cm. 146 148 150 152 153 155 157 161 163 166 168 170

N

o

de alumnos 1 2 2 3 5 9 7 4 3 2 1 1

Figure 1: Histograma correspondiente a la distribución de frecuencias para las estaturas.

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Como la estatura es una variable continua (¿por quØ?), es posible agrupar los datos,

considerar

intervalos de cinco cm. y reunir, en cada uno, los alumnos cuya estatura estÆ en

ese intervalo, así

Ejemplo 3 Como el

rango de la estatura estÆ entre 146 cm. y 170 cm. podemos agrupar en

cinco intervalos de 5 cm. cada uno. El profesor agrupa asi: en el primer intervalo incluye a

los alumnos con 145.5 cm. o mÆs hasta 150.4 cm. y así sucesivamente. ¿QuØ estudiantes

estÆn en el cuarto intervalo?

Estatura (f

)

[145, 150) 5

[150, 155) 17

[155, 160) 7

[160, 165) 7

[165, 170) 4

i

De acuerdo con la tabla el maestro observa que 17 de sus estudiantes tienen una estatura

superior a 150 cm. hasta 155 cm., y que los alumnos con estatura inferior son apenas 4. La

grƅca correspondiente a la tabla anterior se muestra en la …gura 1.

Si una característica o variable es continua, los datos pueden aproximarse y agruparse en

intervalos llamados Intervalos de clase o simplemente clases.

Para conocer la longitud de un intervalo se encuentra la diferencia entre los valores

extremos superiores (o inferiores) de dos intervalos consecutivos. La representación grƅca

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llamada

histograma Se realiza mediante barras unidas, con base proporsional a la longitud

del intervalo y altura proporsional a la frecuencia del intervalo. El diagrama lineal se obtiene

uniendo con segmentos los puntos medios de las bases superiores de las barras del histograma,

Østos puntos se llaman marcas de clase. Las marcas de clase se calculan mediante la fórmula:

y

i

=

L

s

+ L

i

2

Ejercicio 4 En una ciudad costera, un sÆbado de agosto, se midió con radar la velocidad,

en kilometros por hora, de 50 motocicletas que pasaron frente a un paso de nivel (¿quØ es un

paso de nivel?). Los datos se encuentran en la siguiente tabla:

90 85 110 80 75 120 105 100 103 98

96 89 135 108 125 130 120 102 97 86

132 128 115 142 106 102 95 89 96 107

121 132 126 128 134 138 139 110 123 108

102 98 92 90 128 135 138 143 109 133

i. Agrupa los datos en 10 intervalos de clase de igual longitud. Elabora la tabla y el histograma

correspondientes.

ii. Agrupa los datos en intervalos de clase de longitud 10. Elabora la tabla y el histograma

correspondientes.

Solución 5 (i.) El menor dato es 75 y el mayor es 143, por lo tanto podemos considerar

que los datos varían entre 70 y 150, es decir que estÆn todos en el intervalo (70; 150). Para

encontrar la longitud de cada intervalo de clase aplicamos la siguiente fórmula:

l =

L

s

L

i

m

l : longitud del intervalo de clase (la que debemos determinar).

: límite inferior del intervalo de variación de los datos.

L

L

i

: límite superior del intervalo de variación de los datos.

m : nœmero de intervalos que se desea construir.

Teniendo en cuenta la fórmula anterior es fÆcil ver que L

s

i

= 70, L

= 150 y ademÆs el

ejercicio plantea agrupar en 10 intervalos, por lo tanto m = 10. Se tiene entonces:

l =

150 70

10

) l = 8

s

Figure 2: Histograma correspondiente a la distribución de frecuencias para la velocidad

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Es decir que los intervalos de clase tendrÆn una longitud igual a 8. La tabla queda entonces

de la siguiente manera:

Intervalo de clase Frecuencia

[70; 78) 1

[78; 86) 2

[86; 94) 6

[94; 102) 7

[102; 110) 10

[110; 118) 3

[118; 126) 5

[126; 134) 8

[134; 142) 6

[142; 150) 2

Con esta tabla ya es posible contruir el histograma, el cual se verÆ como el de la …gura 2.

1.2 Frecuencia

En un par de ocasiones hemos mensionado el tØrmino frecuencia aunque no hemos dado una

de…nición precisa. Entendemos por frecuencia el nœmero de veces que se repite cierta acción,

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