Descripción clara del Método de la Gran M

Contenido

Descripción clara del Método de la Gran M        

1. Convertir al Modelo Estándar:        

2. Escribir en formato de Tabla Simplex.        

Descripción clara del Método de la Gran M

Mientras que los Programas  Lineales que solo tienen restricciones de <= se pueden resolver sólo usando variables de holgura, para aquellos programas lineales que involucren restricciones de tipo >= e = es necesario como ya lo habíamos comentado, usar variables artificiales.  Dijimos también que las variables de holgura tenían un significado físico real que correspondía a las disponibilidades o requerimientos no usados en las restricciones, pero que las  variables  artificiales no tenían ninguna representación física y que sólo eran usadas como un comodín matemático para ayudar en la solución del problema. Pues bien, cuando tenemos que usar variables artificiales al tener restricciones de >= e = debemos usar uno de las siguientes variantes del simplex:

• El Método de la Gran M
• El Método de las dos fases

Aquí detallaremos el Método de la Gran M.

Definimos la letra M como un número muy grande pero finito para usarlo como coeficiente de las variables artificiales en  la función objetivo y con sentido contrario a la misma para penalizar de manera muy grande la existencia de las mismas en la solución.  Si el objetivo es minimizar las variables artirficiales entraran con M positivo y si es maximizar las variables artificiales se usaran como -M. 

Ejemplo: 

Min Z  = 2X1 +  X2 + 3X3

Sujeto a:

                  3X1 +   X2 + 2X3   <=    10

                    X1 -  2X2 + 3X3    >=     6

                  2X1 + 3X2 -    X3    <=     9                   

                      X1 +  X2  +2X3      =     7          
C.N.N

1. Convertir al Modelo Estándar: 

Cada restricción debe ser convertida de inecuación a una igualdad, agregando variables como se requiera. Con las restricciones de tipo <=, es supremamente fácil. Simplemente se agrega una en cada restricción con coeficiente 1 en la misma restricción y con coeficiente cero en la función objetivo. Por ejemplo: 

                    3X1 +   X2 + 2X3   <=    10 queda:

                    3X1 +   X2 + 2X3 + S1  =    10

Se puede leer así:  el uso de la primera restricción no puede superar la disponibilidad de 10 unidades, lo que equivale a decir que lo usado mas lo que sobre (s1) es igual a 10. Para las restricciones de tipo mayor o igual, la lógica es la misma, de esta manera decir:

                    X1 -  2X2 + 3X3    >=     6

Se puede leer como: el uso de la restricción 2 debe ser como mínimo 6 unidades. Eso significa que el uso podría ser 6.1 o tal vez 7 u 8... etc. Podríamos escribirlo también como 6+0.1 o 6+1 o 6+2 ... o en términos generales:

                    X1 -  2X2 + 3X3    =     6   + S2 que es equivalente a decir: lo usado en la restricción2es igual al mínimo requerido que es 6 más el adicional que está en S2. Esto lo podemos reescribir como: 

                    X1 -  2X2 + 3X3  - S2   =     6  

Sin embargo para el método simplex, cuando aparece esta restricción tipo >= es necesario adicionar una variable comodín, llamada Variable Artificial, sin ningún significado físico, sólo como artificio matemático. Lo sumamos al lado izquierdo de la restricción como se muestra a continuación:

                    X1 -  2X2 + 3X3  - S2   + A1 =     6  

Al usar una variable artificial debemos penalizar la función objetivo allí la vamos a incluir con un coeficiente muy grande, llamado M, al estar minimizando la sumamos  + .MA1.

La tercera restricción es de tipo <=, por lo que no tenemos ningún problema con ella:

                  2X1 + 3X2 -    X3    <=     9   queda

                  2X1 + 3X2 -    X3  + S3  =     9  

La cuarta restricción es de tipo =. Para  este tipo de restricción simplemente adicionamos una variable artificial al lado izquierdo:

...