Diferencial

Definición: (diferenciales) supóngase qué y=f(x) es diferenciable en x y de dx, la diferencia de una variable independiente x, designada de un incremento arbitrario de x. la diferencial dy corresponde de la variable dependiente y se define como

dy= f´(x) dx

Ejemplo: encuentre dy si (a) y=x^3- 3x+ 1, (b)y= √(x^2+3x), (c) y= sen(x^4-〖3x〗^2+11).

Solución: si sabemos cómo calcular diferenciales, basta con calcular la derivada y multiplicarla por dx.

Dy= ( 〖3x〗^2- 3)dx

Dy= 1/2 (x^2 + 3x)^(-1/2) (2x + 3x) dx= (2x+3)/(2√x2+3x) dx

Dy= cos( x^4- 〖3x〗^2 + 11)*(〖4x〗^3 – 6x)dx

Aproximaciones: Las diferenciales desempeñan diversos papeles, pero su uso principal consiste en producir aproximaciones. Supóngase que y=f(x). Cuando se da a x un incremento ∆x y recibe un incremento ∆y, correspondiente, que puede considerarse un valor aproximado de dy. Por lo tanto, el valor aproximado de f(x+∆x) es:

f(x+∆x)≈f(x)+dx=f(x)+f^' (x) ∆x

Diferenciales con un incremento en la función: Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales.

Al referirnos a la función F=(x, y)\y=F(x) se definió el termino F’(x) x de la igualdad;

y=F’(x) x +0( x) x,

Donde lim 0 ( x)= 0 como el diferencial de y, y se representó como dy:

dy= F’(x) x.

En forma semejante, usando la función F=(x, y; x)\ z = F(x, y) definiremos la suma de los primos dos términos en la igualdad;

Z= F z (x, y) + Fy(x,y) y + 01( x, y) x + 02 ( x, y) y,

Donde lim 0 ( x, y) = 0 y lim 0 ( x, y) = 0;

( x , y)----------- (0,0) ( x , y)----------- (0,0)

como la diferencial de z, y la representaremos por dz :

dz = Fz ( x, y) x + Fy (x, y) y.

x y y en la igualdad son números con la propiedad de que (x + x, y y) permanece al dominio de F. Llamaremos a x incremento de x a y, incremento de y y a z incremento de z el que corresponde a los incrementos x de x y y de y. las funciones Fx y Fy deben ser continuas en alguna vecindad cerrada de (x,y).

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