ECUACIONES DE ELIPSE

INTRODUCCION:

Ejes de una elipse

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse]

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semi distancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con

Dado que , también vale la relación:

o el sistema:

¿Qué significa elipse?

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

DESARROLLO:

Si una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro en el punto (x0, y0), los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante el vector

-x0 1 - y0 2 y obtener una elipse centrada en el origen.

Entonces el punto que ha de verificar la ecuación canónica es (x - x0, y - y0). Por tanto, su ecuación es:

Desarrollando esta ecuación, se obtiene:

b2x2 - 2b2x0 x + b2x02 + a2y2 - 2a2 y0y + a2y02 - a2b2 = 0,

que se puede poner en la forma:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde A y B son del mismo signo.

Ecuación de una elipse vertical

Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:

Los vértices son los puntos (x0 ± b, y0) y (x0, y0 ± a) y los focos son (x0, y0 ± c).

Reducción de la ecuación de una elipse

Dada una ecuación del tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, ésta puede transformarse

por el método que se verá en los ejercicios de aplicación. Dicha ecuación se llama ecuación reducida de la elipse.

Si el segundo miembro fuese 1, se tendría una elipse centrada en (x0, y0). Los ejes

de la elipse son las rectas x = x0 e y = y0. Los vértices son (x0 ± a, y0) y (x0, y0 ± b).

En otro caso, como una suma de cuadrados es siempre positiva, se tendría que ningún punto la verifica y se habla de una elipse imaginaria

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse

...