EJERCICIO Evaluar las siguientes integrales impropias

Evaluar las siguientes integrales impropias

∫_0^1▒lnxdx

El logaritmo natural no es continua en cero, entonces

∫_0^1▒lnxdx= lim┬(a →0^+ )⁡∫_a^1▒lnxdx

lim┬(a →0^+ ) ├ xlnx-x┤| ■(1@a)

lim┬(a →0^+ ) (1ln1-1)-(alna-a)

lim┬(a →0^+ ) (1ln1-1)-lim┬(a →0^+ ) (alna-a)

-1-0

-1

La integral es convergente y lo hace hacia -1

2) ∫_2^∞▒1/〖(x-1)〗^2 dx

∫_2^∞▒1/〖(x-1)〗^2 dx = lim┬(b→∞)⁡〖∫_2^b▒1/〖(x-1)〗^2 dx〗

Es una integral que se resuelve por sustitución haciendo u=x-1, luego

lim┬(b→∞)-├ 1/(x-1)┤| ■(b@2)

lim┬(b→∞) (-1/(b-1)+1/(2-1))

-lim┬(b→∞) 1/(b-1)+1

1

Por lo tanto la integral impropia ∫_2^∞▒1/〖(x-1)〗^2 dx converge a 1

∫_(-∞)^∞▒〖e^(-5x) dx〗

∫_(-∞)^∞▒〖e^(-5x) dx= lim┬(a →-∞) 〗 ∫_a^0▒〖e^(-5x) dx〗+lim┬(b →∞) ∫_0^b▒〖e^(-5x) dx〗

lim┬(a →-∞) ├ (-e^(-5x))/5┤| ■(0@a)+ lim┬(b →∞) ├ (-e^(-5x))/5┤| ■(b@0)

lim┬(a →-∞) (-e^(-5(0)))/5+e^(-5(a))/5+ lim┬(b →∞) (-e^(-5(b)))/5+e^(-5(0))/5

lim┬(a →-∞) (-e^(-5(0)))/5+lim┬(a →-∞) e^(-5(a))/5+ lim┬(b →∞) (-e^(-5(b)))/5+lim┬(b →∞) e^(-5(0))/5

(-1)/5+∞-0+1/5=∞

La integral diverge hacia infinito positivo

∫_2^5▒(4+x)/√(x^2-4) dx

La función es discontinua en 2, por tanto

∫_2^5▒(4+x)/√(x^2-4) dx= lim┬(a →2^+ ) ∫_a^5▒(4+x)/√(x^2-4) dx

Resolviendo aparte la integral se tiene que

∫▒〖(4+x)/√(x^2-4) dx= 〗 ∫▒〖4/√(x^2-4) dx+∫▒〖x/√(x^2-4) dx 〗〗

Por tabla, la primera integral

∫▒〖4/√(x^2-4) dx=4 ln⁡|x+ √(x^2-4)|+c〗

Por sustitución, la segunda integral es

Sea u = x2 – 4; du = 2xdxdu/2 = x dx

∫▒〖x/√(x^2-4) dx 〗= 1/2 ∫▒〖du/√u = 1/2 ∫▒u^(-1/2) 〗 du

1/2 u^(1/2)/(1/2)+c

√(x^2-4)+c

Incluyéndolas en el límite resulta

lim┬(a →2^+ ) ∫_a^5▒(4+x)/√(x^2-4) dx= 〖lim⁡〗┬(a →2^+ ) ├ 4 ln⁡|x+ √(x^2-4)| ┤| ■(5@a)+〖lim⁡〗┬(a →2^+ ) ├ √(x^2-4)┤| ■(5@a)

lim┬(a →2^+ ) (4 ln|5+√(5^2-4)| )-lim┬(a →2^+ ) (4 ln|a+√(a^2-4)| )+ lim┬(a →2^+ ) (√(5^2-4))- lim┬(a →2^+ ) (√(a^2-4))

4 ln|5+√21|+ √21-0-4 ln⁡2

La integral converge hacia

4 ln|5+√21|+ √21-4 ln⁡2

∫▒(〖sec〗^2 (√x))/√x dx

Se resuelve por sustitución del argumento trigonométrico así:

Sea u= √x; du= 1/(2√x) dx por tanto 2 du= 1/√x dx

Luego

∫▒(〖sec〗^2 (√x))/√x dx= 2∫▒〖〖sec〗^2

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