INTEGRALES IMPROPIAS.

INTEGRALES IMPROPIAS.

Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.

Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si existe f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).

De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir de x = 1.

dx = dx = = - (- 1) = 1 u.a.

Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe f (x) dx, definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:

ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1.

El recinto tendrá 1 u.a.

Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = entre x = 0 y x = 2.

La función no está acotada en x = 1.

S = dx + dx = dx + dx =

= - + - = ( - 1) + (- 1 + ) = .

La integral impropia es divergente.

Integrales Impropias

De acuerdo con la definición de integrales, tenemos una función que está limitada de ambos lados superior e inferior para algún intervalo Icon rango [p, q].

Ahora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir,

1. O la función que tenemos se convierte en ilimitada en uno o ambos de sus lados.

2. O, el intervalo para el cual la función es definida en sí se convierte ilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados.

En tal situación la integral que tenemos se llama integral impropia.

Una integral impropia es un tipo de integral definida dondeo los límites de la integración o la función alcanzan el infinito.

Esto puede ocurrir una o varias veces para los límites de integración dados.

Entendamos ahora el caso I en profundidad.

Para que la función se vuelva ilimitadatenemos dos posibilidades o la función se convierte en ilimitada para el intervalo superior o la función se vuelve ilimitada para el intervalo inferior.

En este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito para el límite inferior de la función.

Y en este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito

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