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Integrales Impropias


Enviado por   •  26 de Marzo de 2013  •  2.839 Palabras (12 Páginas)  •  530 Visitas

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Tema 11

Integrales impropias.

11.1 Introducci´on.

En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hip´otesis

? Dom(f ) = [a; b] es un conjunto acotado.

? f : [a; b] ¡! IR est´a acotada en [a; b].

Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente

integral impropia.

11.2 Integrales impropias de primera especie.

Definici´on 11.1– Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t] , para todo t ¸ a , y sea

F : [a; +1) ¡! IR la funci´on definida por F (t) =

Z

t

a

f (x)dx .

El par (f; F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a; +1) y se designa

por

Z

+1

a

f (x)dx ´o

Z

+1

a

f:

Definici´on 11.2– Diremos que la integral impropia

Z

+1

a

f (x)dx es convergente si existe y es

finito

lim

t!+1

F (t) = lim

t!+1

Z

t

a

f (x)dx

y si ese l´ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L . Es decir,

L =

Z

+1

a

f (x)dx:

Si el l´ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente, y si no existe se

dice que es oscilante.

De forma an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la

forma (¡1; b] para funciones f : (¡1; b] ¡! IR integrables en [t; b], para todo t 2 IR, y las

representamos por

Z

b

¡1

f (x)dx ´o

Z

b

¡1

f:

Definici´on 11.3– Sea f : IR ¡! IR integrable en todo intervalo cerrado de IR . Diremos que

Z

+1

¡1

f (x)dx es convergente si existe alg´un a 2 IR tal que las integrales

Z

a

¡1

f (x)dx y

Z

+1

a

f (x)dx;

Integral de una variable. 126

11.2 Integrales impropias de primera especie.

son ambas convergentes. En ese caso su valor es

Z

+1

¡1

f (x)dx =

Z

a

¡1

f (x)dx +

Z

+1

a

f (x)dx:

Definici´on 11.4– Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo car´acter, y lo repre-sentaremos por “ » ”, si son simult´aneamente convergentes, divergentes u oscilantes.

Propiedades 11.5–

a) Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t] para todo t ¸ a y sea b ¸ a . Entonces

Z

+1

a

f (x)dx »

Z

+1

b

f (x)dx:

Demostraci´on:

Como

lim

t!+1

Z

t

a

f (x)dx = lim

t!+1

Ã

Z

b

a

f (x)dx +

Z

t

b

f (x)dx

!

=

Z

b

a

f (x)dx + lim

t!+1

Z

t

b

f (x)dx

el l´ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´ımite de la derecha es finito,

infinito o no existe respectivamente. Y viceversa.

An´alogamente si f : (¡1; b] ¡! IR es integrable en [t; b], 8 t 2 IR y a · b , entonces

Z

b

¡1

f (x)dx »

Z

a

¡1

f (x)dx:

b) Sean f; g: [a; +1) ¡! IR integrables en [a; t], 8 t ¸ a . Si

Z

+1

a

f (x)dx y

Z

+1

a

g(x)dx

convergen, entonces

Z

+1

a

(f + g)(x)dx converge. En cuyo caso,

Z

+1

a

(f + g)(x)dx =

Z

+1

a

f (x)dx +

Z

+1

a

g(x)dx:

Demostraci´on:

Basta considerar que lim

t!+1

Z

t

a

(f + g)(x)dx = lim

t!+1

Z

t

a

f (x)dx + lim

t!+1

Z

t

a

g(x)dx , si los

segundos l´ımites existen.

c) Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t], 8 t ¸ a y ¸ 2 IR, con ¸ 6 = 0. Entonces

Z

+1

a

f (x)dx »

Z

+1

a

¸f (x)dx:

Demostraci´on:

Como lim

t!+1

Z

t

a

¸f (x)dx = ¸ lim

t!+1

Z

t

a

f (x)dx , ambos l´ımites son simult´aneamente finitos,

infinitos o no existen.

Observaciones:

Integral de una variable. 127

11.2 Integrales impropias de primera especie.

a) Sea f : IR ¡! IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. El car´acter de

Z

+1

¡1

f (x)dx

no depende del punto a dado en la definici´on.

En el caso de que la integral sea convergente su valor no depende tampoco del punto

elegido ya que, para cualquier b 2 IR,

Z

a

¡1

f +

Z

1

a

f =

Z

b

¡1

f +

Z

a

b

f +

Z

b

a

f +

Z

1

b

f =

Z

b

¡1

f +

Z

1

b

f:

b) Sea f : IR ¡! IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Si

Z

1

¡1

f es convergente,

entonces

Z

+1

¡1

f = lim

t!+1

R

t

¡t

f .

La implicaci´on contraria es falsa. Es decir, puede existir el l´ımite y la integral ser diver-gente.

Contraejemplo.-Z

+1

¡1

2xdx no es convergente, pues

Z

1

0

2xdx = lim

t!+1

Z

t

0

2xdx = lim

t!+1

x

2

i

t

0

= lim

t!+1

t

2

= +1

es divergente, sin embargo

lim

t!+1

Z

t

¡t

2xdx = lim

t!+1

x

2

i

t

¡t

= lim

t!+1

t

2

¡ (¡t)

2

= 0:

Al valor del lim

t!+1

Z

t

¡t

f (x)dx se le denomina Valor Principal de Cauchy, y suele denotarse

por V P

Z

+1

¡1

f .

Ejemplo 11.6{ Estudiar el car´acter de

Z

1

1

dx

x

®

, para ® 2 IR.

Soluci´on:

Como la funci´on tiene primitivas distintas para ® = 1 y ® 6 = 1, las estudiamos por separado:

Si ® = 1,

lim

t!+1

Z

t

1

1

x

dx = lim

...

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