INVESTIGACIÓN Que son integrales impropias?

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        INVESTIGACIÓN

1. Que son integrales impropias?

R/es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.

1. Como se clasifica las integrales impropias; Ejemplo?

R/* Integrales impropias de primera especie: Convergencia. Sea f (x) continua [pic 3]x [pic 4] a. Si existe [pic 5][pic 6]f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + [pic 7]), y definimos:        

        [pic 8]f (x) dx = [pic 9][pic 10]f (x) dx        

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + [pic 11]).        

De igual modo, definimos también [pic 12]f (x) dx = [pic 13][pic 14]f (x) dx, y        

[pic 15]f (x) dx = [pic 16][pic 17]f (x) dx + [pic 18][pic 19]f (x) dx, si los límites existen.

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = [pic 20] con el eje X, a partir de x = 1.        

[pic 21][pic 22]dx = [pic 23][pic 24][pic 25]dx = [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29] = [pic 30][pic 31][pic 32] - (- 1)[pic 33] = 1 u.a.      

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*Integrales impropias de segunda especie: Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe [pic 35][pic 36]f (x) dx, definimos:        

        [pic 37]f (x) dx = [pic 38][pic 39]f (x) dx        

Si el límite no existe, diremos que [pic 40]f (x) dx es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:        

[pic 41]ln x dx = [pic 42][pic 43]ln x dx = [pic 44][pic 45]x ln x - x[pic 46] = - 1 - [pic 47][pic 48][pic 49]ln[pic 50][pic 51] = - 1.

  El recinto tendrá 1 u.a.

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Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = [pic 53] entre x = 0 y x = 2.

La función no está acotada en x = 1.        

S = [pic 54][pic 55]dx + [pic 56][pic 57]dx = [pic 58][pic 59][pic 60]dx + [pic 61][pic 62][pic 63]dx =        

= [pic 64][pic 65] - [pic 66][pic 67] + [pic 68][pic 69] - [pic 70][pic 71] = [pic 72]([pic 73] - 1) + [pic 74](- 1 + [pic 75]) = [pic 76].

 La integral impropia es divergente.    

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1. Como se clasifican las funciones especiales y defina cada una?

R/ Existen cuatro tipos de funciones que pueden calificarse como especiales:

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