Integrales Impropias

INTEGRALES IMPROPIAS.

Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.

Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si existe f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).

De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir de x = 1.

dx = dx = = - (- 1) = 1 u.a.

Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe f (x) dx, definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:

ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1.

El recinto tendrá 1 u.a.

Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = entre x = 0 y x = 2.

La función no está acotada en x = 1.

S = dx + dx = dx + dx =

= - + - = ( - 1) + (- 1 + ) = .

La integral impropia es divergente.

http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/matonline/int-impropias.html

Continuidades

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

http://www.ciq.uchile.cl/matematica/pdf/talleres4/talle-9.pdf

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda

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