INTEGRALES IMPROPIAS

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

FACULTAD DE INGENIERIA

INTEGRALES IMPROPIAS

AUTORES

BRIONES BRINGAS GLORIA.

MEJIA BUSTAMANTE ANA.

CACERES SALAZAR FERNANDO.

ROJAS CASANOVA ENRIQUE.

TUTOR

CULQUITANTE GARCIA NOE MARTIN

CÁLCULO II

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS.

CICLO 2015-I

CAJAMARCA, JUNIO DEL 2015

ÍNDICE

RESUMEN Pág. 2

1. INTRODUCCIÓN Pág. 3

2. OBJETIVOS

2.1. OBJETIVO GENERAL Pág. 4

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Pág. 4

3. CONTENIDOS

3.1. EL LIMITE

3.1.1. CONCEPTO BASICO DE LIMITES Pág. 5

3.2. INTEGRALES IMPROPIAS Pág. 6

3.2.1. DEFINICIÓN

Pág. 6

3.2.2. INTEGRALES CONVERGENTES O DIVERGENTES Pág. 10

3.3. TIPOS DE INTEGRLALES IMPROPIAS

3.4. EJEMPLOS DE INTEGRALES IMPROPIAS Pág. 11

4. BIBLIOGRAFIA Pág. 19

RESUMEN

En el presente proyecto de investigación el equipo ha trabajado durante algunas semanas, buscando los temas que nos podrían ayudar en el desarrollo de nuestro tema.

Mostramos algunas de las dificultades, obstáculos y errores que los alumnos universitarios encuentran al aprender los conceptos relativos a la integración impropia; algunos de ellos parecen inherentes al propio concepto de integral impropia y otros

Vienen relacionados con ausencia de significado o con otros conceptos del cálculo.

Con el objetivo de analizar estas dificultades, obstáculos y errores construimos un marco teórico basado, principalmente,

1. INTRODUCCIÓN

Para definir la integral de Riemann de una cierta función f(x) en un intervalo [a, b], se necesita que el intervalo de integración sea cerrado y acotado y que la función esté acotada dentro del intervalo. Cuando una de estas dos condiciones no se cumple, se define la integral impropia como una generalización de la integral de Riemann. Este concepto, de múltiples aplicaciones (probabilidades, normas funcionales, transformadas de Fourier, …), ofrece una gran resistencia a los estudiantes universitarios, que lo aprenden sin darle significado y restringiéndose a cálculos algebraicos y a la aplicación de criterios de convergencia (González-Martín, 2002). Para hacer frente a esta situación, decidimos crear una secuencia de enseñanza para ayudar a los estudiantes a aprender este concepto coordinando los registros gráfico y algebraico, dándole así más significado. Nuestra secuencia de enseñanza juega a la vez el rol de instrumento de investigación; por ello, se decidió utilizar una ingeniería didáctica (Artigue, 1992). Esta metodología desarrolla análisis, previos a la construcción de la secuencia de enseñanza, de tres dimensiones clásicamente consideradas: epistemológica, didáctica y cognitiva. Nuestra revisión de bibliografía (ver GonzálezMartín, 2006) nos mostró que el aprendizaje de la integral impropia no ha sido directamente abordado por la investigación internacional, por lo que el estudio de la dimensión cognitiva (ver sección 4) resultó de gran utilidad para identificar algunas dificultades y obstáculos. Este artículo da algunos breves detalles de los análisis cognitivo y didáctico y se centra más en el análisis epistemológico, dando algunos detalles de procedimientos utilizados históricamente por los matemáticos para calcular áreas infinitas.

2. OBJETIVOS

2.1. OBJETIVO GENERAL

 Explicar de manera didáctica el tema integrales impropias

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Analizar las diferentes situaciones en los que sea necesario utilizar el método.

 Comprender que es límite de funciones

3. CONTENIDOS

3.1. LIMITE

3.1.1. DEFINICIÓN DEL LIMITE

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L|

INTEGRAL IMPROPIA

Introducción

"Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

Puede interpretarse como

Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de

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